Trekanter ulikhet teorem

La oss tegne en trekant. La oss si, at den blå siden har lengde 6, og den rød har lengde 10, og den grønne har lengde x. Vi skal finne ut av, hvor stor eller liten x kan være. Hvor stor eller liten kan den her grønne siden være? Den første spørsmålet er: Hvor liten kan x være? Hvis den grønne side skal være liten, skal den grønne vinkelen være mindre. La oss prøve å lage den så liten som mulig. Vi har altså lengden 10 her, og den her vinkelen blir veldig, veldig liten. Den går mot 0. Hvis vinkelen er 0, blir trekanten degenerert. Det vil si at den bli endimensjonal. Når vi går mot 0, vil den her siden nesten falle sammen med den her siden, som er 10. Hvis de 2 sidene ender med å være over hverandre, har vi nettopp en degenerert trekant. Vi skal altså ha det her punktet til å være så nærme som mulig det her punktet. Vi skal minimere x. Det skjer nå vinkelen er tett på 0. La oss tegne utviklingen. Nå er vinkelen mindre. Den her blå siden har lenden 6, og x bli også mindre. Vi lager vinkelen mindre og mindre, inntil vi når en degenerert trekant. Vi har altså den her lyserøde siden med lengde 10. Nå er vinklen her nærmest 0. Den her blå siden er 6. Hva er avstanden mellom det her punktet og det her punktet? I tilfellet med den degenererte trekanten er lengden her x. Vi vet altså, at 6 pluss x er lik 10. I det her tilfellet med den degenererte trekanten er x lik 4. Hvis x er lik 4, er det her altså en degenerert trekant, som blir et linjestykke. Hvis det skal være en trekant, skal x være større enn 4. La oss nå se på det omvendt. Hva er det største x kan være? Når vi ser på det på den måten, skal vinkelen her være større. La oss prøve å gjøre det. La oss tegne siden med 10 igjen. Vi lager vinkelen større og større. Vi tegner siden, det er 6, her. Nå blir vinkelen større og større, og den går mot 180 grader. Når vinkelen er 180 grader, vil vi igjen ha et linjestykke og dermed en degenerert trekant. La oss tegne siden, som er x nå. Vi maksimerer altså avstanden mellom det her punktet og det her punktet. Det her er siden med lengden x. La oss gå hele veien til tilfellet med den degenererte trekanten. I det tilfellet er vinkelen 180 grader, og sidene med lengden 6 lager en lik linje sammen med siden, som er 10. Det er slik, vi får de 2 punktene til å være lengst fra hverandre. Hva er avstanden mellom de 2 punktene i den her situasjonen? Det vil også være lengden av x. I den her situasjonen er x lik 6 pluss 10. Det er 16. Hvis x er 16, har vi altså en degenerert trekant. Hvis vi ikke vil ha en degenerert trekant, skal x altså være mindre enn 16. Det her vi har arbeidet med kalles trekantulikheten. Det er ganske grunnleggende. Enhver side kan ikke være lenger enn summen av de 2 andre sidene i trekanten. Lengden av 1 gitt siden skal altså være mindre enn summen av de 2 andre sidene. Hvis vi ikke har noe mot å få en degenerert trekant, som i virkeligheten er et linjestykke, fordi den kun er i 1 dimensjon, kan vi også si mindre enn eller lik med. Her arbeider vi dog med ikke-degenererte trekanter. Lengden av 1 side skal altså være mindre enn summen av de 2 andre sidene. Hvis vi bruker den kunnskapen, ville vi få samme resultat. Vi ville si, at x skal være mindre enn 6 pluss 10, altså mindre enn 16. Det er det samme, som vi fikk, da vi gikk gjennom oppgaven. Vi kan også spørre oss selv: Hvor liten kan x være? Vi kan se, at 10 skal være mindre enn 6 pluss x. Det er summe nav lengden av de andre sidene. Hvis vi trekker 6 fra på begge sider her, får vi mindre enn x, eller x er større enn 4. Det her er altså på et eller annet plan en grunnleggende ting. Det er noe, som er sentralt i geometrien. Og det er faktisk også noe, man kan se andre versjoner av i andre grener av matematikken. Det er trekantulikheten.