Laster

Video transcript

Dette er et bilde av René Descartes. En av de store tenkerne, i både matematikk og filosofi. Jeg tror du kommer til å se en liten trend her at de største filosofene også var store matematikere og motsatt. Han var nesten samtidig med Galileo, han var 32 år yngre, men han døde kort etter at Galileo døde. Han døde i en mye yngre alder, Galileo var godt og vel 70, Descartes døde da han bare var 54 år gammel. Han er nok best allment kjent for sitatet her oppe, et veldig filosofisk ett. "Jeg tenker derfor er jeg." Men jeg vil også nevne, og dette har ikke så mye med algebra å gjøre, men jeg synes det er et stilig sitat, sikkert hans minst kjente. Dette her. Jeg liker det fordi det er veldig praktisk. Det får deg til å innse at disse store tenkerne, disse pilarene i filosofi og matematikk, når alt kommer til alt var de bare vanlige mennesker. Han sa: Du bare fortstetter. Du bare fortsetter. Jeg gjorde hver feil som kunne gjøres. Men jeg bare fortsatte." Et veldig godt råd i livet, synes jeg. Han gjorde mye i filosofi og matematikk, men årsaken til at jeg tar ham med her når vi legger fundamentet i algebra, er at han er den personen som er mest ansvarlig for et veldig sterkt forhold mellom algebra og geometri. Til venstre her, har du algebraens verden. Vi har diskutert den litt. Vi har ligninger som har med symboler å gjøre og symbolene kan påta seg verdier. Så du har noe som dette y = 2 ganger - 1 Dette gir oss et forhold mellom det x måtte være og det y måtte være. Vi kan til og med lage en tabell her. Og velge verdiene til x og se hva y blir. Jeg kan velge vilkårlige verdier for x for så å finne ut hva y er. Men jeg velger ganke enkle verdier slik at matematikken ikke blir for komplisert. Så for eksempel, hvis x er -2 blir y 2 ganger -2 minus 1 2 ganger -2 minus 1 som er -4 minus 1 som er -5 hvis x er -1 da blir y 2 ganger -1 minus 1, som er lik, dette er -2 minus 1 som er -3. Hvis x = 0 blir y 2 ganger 0 - 1. 2 ganger 0 er 0 - 1 blir bare -1. Jeg tar et par til. Hvis x er 1 Jeg kan velge enhver verdi her, hva skjer når x er minus kvadratroten av 2 eller hva skjer hvis x er -5 halve eller pluss 6/7. Men jeg bare velger disse tallene fordi det gjør matten mye enklere når jeg prøver å finne ut hva y blir. Men når x er 1 blir y 2 ganger 1 minus 1 2 ganger 1 er 2 minus 1 er 1 og jeg tar en til. I en farge jeg ikke har brukt enda, la oss se denne lilla. Hvis x er 2 da blir y 2 ganger 2 minus 1, slik at det er 4 - 1, som er lik 3. Så sant nok, jeg valgte eksempler på dette forholdet. Jeg sa, ok dette beskriver et generelt forhold mellom y-variabelen og x-variabelen og så gjorde jeg det litt mer konkret. Jeg sa ok, hvis x er en av disse variablene, for hver av disse x-verdiene, hva blir den tilsvarende y-verdien? Det Descartes forsto var at du kunne visualisere dette. Du kan visualisere individuelle punkter. Men generelt kan det også hjelpe deg å visualisere dette forholdet. Det han i virkeligheten gjorde var å bygge bro mellom den veldig abstrakte og symbolske algebraen og geometrien som tok for seg former, størrelser og vinkler. Her borte har du geometriens verden. Det finnes sikkert mennesker i løpet av historien, kanskje mange som er blitt glemt av historien, som kanskje berørte dette. Men før Descartes anses det generelt at geometri betsto av euklidsk geometri. Det er rett og slett den geometrien du lærer i geometriklassen i åttende, niende og tiendeklasse i et tradisjonelt pensum for ungdomsskolen. Det er geometrien som ser på forholdene mellom trekanter og vinklene deres og forholdene mellom sirkler, du har radius og du har trekanter innskrevet i sirkler og så videre. Vi går mer i dybden av det i geometrispillelisten. Men Descartes tenkte, jeg tror jeg kan presentere dette visuelt, på samme måten som Euclid studerte trekantene og sirklene, hvorfor ikke, tenkte han. Hvis vi ser på et papirark, og tenker på et todimensjonalt plan, du kan se et papirark som en del av et todimensjonalt plan. Vi kaller det to dimensjoner fordi du har to retninger å gå i. Det er opp-ned retningen, det er en retning. La meg tegne den i blått, fordi vi prøver å visualisere ting så jeg tegner det i geometrifargen. Så du har opp-ned-retningen og så har du venstre-høyre-retningen. Derfor heter det et to-dimensjonalt plan. Hvis vi har tre dimensjoner, har du en ut-inn-dimensjon. Det er veldig enkelt å vise to dimensjoner på skjermen fordi den er to-dimensjonal. Og han sa, vel, du vet det er to variabler her og de står i et forhold til hverandre, så hvorfor ikke knytte hver variabel til en av dimensjonene her borte? Siden det er vanlig, la y-variablen, som virkelig er den variablen som avhenger, slik vi gjorde det, avhenger den av hva x er. La oss plassere den på den vertikale aksen, og den uavhengige variabelen, der jeg valgte verdier vilkårlig, for å se hva y blir, la oss plassere den på den horisontale aksen. Det var faktisk Descartes som startet tradisjonen med å bruke x-er, y-er og som vi skal se z-er, i utstrakt grad i algebra, som ukjente variabler sammen med variablene vi forandrer. Men han sa, vel, hvis vi tenker på det på denne måten, hvis vi gir et tall til disse dimensjonene, la oss si at x i denne retningen la oss si at dette er -3, la oss si at dette er -2, dette er -1, dette er 0. Jeg gir bare tall til x retningen, venstre-høyre-retningen. Dette er pluss 1, dette er pluss 2 og dette er pluss 3. Vi kan gjøre det samme i y-retningen. Så la oss se, dette blir la oss si at dette er -5, -4, -3 forresten, la meg gjøre det litt mer elegant, la meg rydde opp litt. La meg viske ut dette og utvide det litt slik at jeg kan gå helt ned til -5 uten at det blir for rotete. Så la oss gå helt ned hit. Så vi kan nummerere det. Dette er 1, dette er 2, dette er 3, og dette blir -1, -2 og disse er alle konvensjoner, det kan gjøres på en annen måte. Vi kunne bestemt oss for å plassere x-en der og y-en der. og gjøre dette til den positive retningen, og dette til den negative. Men dette er bare en konvensjon som folk begynte å bruke, og det begynte med Descartes. -2, -3, -4 og -5. Han sa, jeg kan forbinde hvert av disse verdiparene med et to-dimensjonalt punkt. Jeg kan ta x-koordinaten, jeg kan ta x-verdien, her borte og si, OK, det er -2, det ville blitt rett der borte langs venstre-høyre-retningen, jeg går mot venstre fordi det er minus, og den er forbundet med -5 i den vertikale retningen. Så jeg sier at y verdien er -5. Hvis jeg går to til venstre og 5 ned, kommer jeg til dette punktet her borte. Så han sa, disse to verdiene -2 og -5, kan jeg forbinde med dette punktet på dette planet her borte, i dette to-dimensjonale planet. Dette punktet har koordinatene, og forteller meg hvor jeg finner punktet (-2, -5). Disse koordinatene heter "kartesiske koordinater" oppkalt etter René Descartes, han var den som fant på dem. Han knyttet plutselig disse forholdene til punkter langs et koordinatplan. Så sa han, "vel ok, la oss ta en til." Det er dette andre forholdet, der x er lik -1, y = -3, slik at x er -1, y er -3. Det er punktet her borte. Konvensjonen er nok en gang, når du fører koordinatene, skriver du x-koordinaten, deretter y-koordinaten. Det var bare slik de begynte å gjøre det. -1, -3 blir det punktet her borte. Så har du punktet der x er 0, y er -1, når x er 0 er her, jeg går ikke til høyre eller venstre, y er -1, som betyr at jeg går 1 ned, til punktet her 0, -1. Akkurat der. Jeg kan fortsette å gjøre dette. Når x er 1, er y 1. Når x er 2, er y 3. La meg skrive det i lillafargen. Når x er 2, er y 3. 2,3, og denne i orange er 1,1. Dette er fint slik. Jeg bare valgte mulige xer, men det han forsto var at ikke bare velger man mulige xer, men fortsetter du å velge xer, hvis du velger alle xene i mellom har du faktisk tegnet en linje. Slik at hvis du tar alle mulige xer ender du opp med å tegne en linje som ser omtrent slik ut...her borte. I ethvert forhold, velger du enhver x og finner enhver y, representerer de egentlig et punkt på linjen. En annen måte å forstå det på, er at hvert punkt på linjen er en løsning på likningen her. Slik at hvis du har dette punktet her, som ser ut som x er 1 og en halv, er y 2. Så la meg skrive det. 1.5, 2 Det er løsningen på denne likningen. Når x er 1.5. 2 ganger 1,5 er 3 - 1 er 2, det står her borte. Plutselig kunne han bygge bro mellom avstanden eller forholdet mellom algebra og geometri. Vi kan nå visualisere alle x- og y-parene, som tilfredstiller likningen her. Slik at han var ansvarlig for å bygge denne broen Derfor kalles koordinatene vi bruker for å spesifisere disse punktene "kartesiske koordinater." Vi skal se at er den første typen likninger vi studerer er likninger av denne typen her borte. I et tradisjonelt algebrapensum kalles de lineære likninger. Lineære likninger. Du tenker kanskje at du ser at det er en likning. At du ser at det er lik det. Men hva er så lineært ved dem? Hva får dem til å se ut som en linje? For å forstå hvorfor de er lineære, må du ta steget René Descartes tok. Fordi hvis du tegner dette ved å bruke kartesiske koordinater på et euklidsk plan, får du en linje. Og i fremtiden kommer du til å se at det er andre typer likninger der du ikke får en linje. Du får en kurve, eller noe annet merkelig noe.