Løsning av andregradsuttrykk ved faktorisering

Vi er bedt å løse for s. Og vi har s kvadrert minus 2s minus 35 er lik 0. Om dette er den første gangen du ser denne typen av det som hovedsakelig er en kvadratisk ligning, så blir du kanskje fristet til å løse for s ved å bruke tradisjonelle algebraisk løsninger, men den beste måten å løse denne, spesielt når det er eksplisitt lik 0, er å faktorere venstresiden, og så tenke på faktumet at disse binominale som du faktorere inn i, at de må være lik 0. Så la oss gjøre det. Så hvordan kan vi faktorere dette? Vi har sett flere måter. Jeg vil vise den vanlige måten vi har gjort det på, ved å gruppere, og så er det en liten snarvei når du har 1 som en koeffisient her borte. Så når du gjør noe ved å gruppere, når du faktorerer ved å gruppere, så tenker du på to tall som summen av kommer til å bli lik minus 2. Så du tenker på to tall hvor deres sum, a pluss b, er lik minus 2, og som sammen får et produkt som vil være lik minus 35. a ganger b er lik minus 35. Så hvis produktet er et minus tall, så må en være positiv, og en må være i minus. Og så, om du tenker på det, noen som er rundt to fra hverandre, du har 5 og minus 7, jeg tror det vil virke, 5 pluss minus 7 er lik minus 2. Så for å faktorere ved gruppering, så må du splitte dette midtre uttrykket. Vi kan splitte til en-- la meg skrive det på denne måten. Vi har s kvadrert, også dette midtre uttrykket her, jeg vil gjøre det i rosa. Dette midtre uttrykket der kan jeg skrive som pluss 5s minus 7s og så har vi minus 35-en. Og så, selvfølgelig så er alt det lik 0. Vi kaller det faktorering ved gruppering, fordi vi grupperer det. Så vi kan gruppere disse to uttrykkene. Og disse første to uttrykkene, de har en felles faktor av s. Så la oss faktorere det ut. Du har s ganger s pluss 5. Det er det samme som s kvadrert pluss 5s. I disse neste to uttrykkene her, så har du en felles faktor av minus 7, så la oss faktorere det ut. Så du har minus 7 ganger s pluss 5. Og, selvfølgelig så er alt det lik 0. Nå har vi to uttrykk her, hvor begge har s pluss 5 som en faktor. Begge har s pluss 5 som en faktor. Så vi kan faktorere ut det. Så la oss gjøre det. Så du har s pluss 5 ganger-- ganger denne s-en her, ikke sant? s pluss 5 ganger s vil gi deg dette uttrykket. Og så har du minus den 7-eren her. Jeg udistribuerer s pluss 5. Og så kommer dette til å bli lik 0. Nå som vi har faktorert det, så må vi bare tenke litt på hva som skjer når du tar produktet av to tall. Jeg mener, s pluss 5 er et tall. s minus 7 er et annet tall. Og vi sier at produktet av disse to tallene er lik 0. Hvis jeg noen gang fortalte deg at jeg hadde to tall, om jeg fortalte deg at jeg hadde tallet a ganger b og at der er lik 0. Hva vet vi om enten a eller b, eller begge. Vel, i det minste en av dem må være lik 0, eller så må begge være lik 0. Så, faktumet at dette tallet ganger det tallet er lik 0, forteller oss at enten så er s pluss 5 lik 0 eller-- og kanskje begge-- s minus 7 er lik 0. Jeg vil gjøre det i bare grønt. Eller så er s minus 7 lik null. Og dermed har du diss to ligningene, og faktisk, så kan vi si og/eller. Det kan være og/eller, det ene eller andre, eller begge kunne være lik 0. Så la oss se hvordan vi kan løse dette. Vel, vi kan subtrahere 5 fra begge sider av denne ligningen der. Og så får du, på venstresiden, så har du s er lik minus 5. Det er en løsning til ligningen, eller så kan du legge til 7 til begge sider av ligningen, og du vil få s er lik 7. Så hvis s er lik minus 5, eller s er lik 7, så vi har tilfredsstilt denne ligningen. Vi kan til og med verifisere det. Hvis du setter s lik minus 5, så har 25 pluss 10, som er minus 35. Det er lik 0. Hvis du har 7, 49 minus 14 minus 35 er lik 0. Så vi har løst for s. Jeg har nevnt her at det er en enklere måte å gjøre det på. Og når du har noe som dette, hvor du har 1 som den ledene koeffisienten, så trenger du ikke å gjøre denne to-trinns faktoreringen. La meg bare vise deg et eksempel. Hvis jeg bare har x pluss a ganger x pluss b, hva er det lik? x ganger x er kvadrert, x ganger b er bx. a ganger x er pluss ax. a ganger b er ab. Pluss ab. Så du får x kvadrert pluss- disse to kan bli addert-- pluss a pluss bx pluss ab. Og det er mønsteret som du har her. Vi har 1 som en ledene koeffisient her, vi har 1 som en ledene koeffisient her. Så, så snart vi har de to tallene våre som summeres til minus 2-- så når vi har de to tallene som summeres til -2, og det er vår a pluss b, og vi har produktet vårt som går til minus 35, også kan vi rett og slett faktorere det til produktet av de to tingene. Så det vil bli--- eller produktet av binominalene, hvor de vil være a-er og b-er. Så vi fant det ut. Det er 5 og minus 7. 5 pluss minus 7 er minus 2. 5 ganger minus 7 er minus 35. Så vi kunne bare ha fakorert det nå. 2, vel, egentlig så var det tilfellet for s. Så vi kunne ha faktorert det direkte til tilfellet s plus 5 ganger s minus 7. Vi kunne ha gjort det med en gang og vi ville ha fått det her sånn. Og, selvfølgelig, hele greiene er lik 0. Så det ville ha vært en liten snarvei, men faktorering ved gruppering er en helt grei måte å gjøre det på også.