Gjeldende klokkeslett:0:00Total varighet:12:01
0 energipoeng
Studying for a test? Prepare with these 8 lessons on Likningssett.
See 8 lessons

Systems of equations with elimination (and manipulation)

Video transcript
. La oss løse flere likningssett ved hjelp av eliminasjon Her må vi nok gjennom flere trinn for å løse oppgaven Vi må først endre likningene for å gjøre de klare til eliminasjonsmetoden Si at vi har likningen 5x - 10y er lik 15 og vi har likningen 3x - 2y = 3 Vi skal løse dette settet ved hjelp av eliminasjon Vi kunne selvfølgelig brukt substitusjon eller løst det grafisk og se hvor linjene krysser hverandre men her skal vi bruke eliminasjon I forrige oppgave kunne vi ta det på venstre side av den ene likningen og trekke fra venstre side på den andre eller vi kunne legge sammen venstresidene og vi kunne legge sammen begge høyresidene etterpå Dette kunne vi gjøre fordi det er det samme som å legge til det samme på begge sider av likhetstegnet men det er ikke opplagt at det kan hjelpe oss i denne oppgaven Legger vi sammen venstresidene får vi 8x - 12y og vi ville ikke ha eliminert noen av variablene På høyresiden ville vi bare stå igjen med et tall Det ville heller ikke hjelpe å trekke likningene fra hverandre Det ville heller ikke eliminere noen av variablene Hvordan kan vi da bruke eliminasjon her? Svaret er at vi kan multiplisere en av likningene sånn at en av de blir slik at vi eliminere en variabel i den andre Vi velger selv hvilken av variablene vi vil eliminere Si at vi vil eliminere y La oss omskrive 5x - 10y 5x - 10y = 15 Kan vi gange den grønne likningen med et tall sånn at minus 2y-leddet blir et ledd som kan gå opp i minus 10y Vi skal altså gjøre om minus 2y til å bli pluss 10y Hvis dette hadde vært pluss 10y vil den gå opp med de andre y når vi legger sammen likningene Hva kan vi gange likningen med? Vi kan gange likningen med minus 5 Minus 5 ganger minus 2 blir pluss 10 La oss gjøre det La oss gjøre denne med minus 5 Vi ganger altså venstre side med minus 5 og vi ganger høyre side med minus 5 Hva får vi da? Husk at vi ikke endrer likningen Vi endrer ikke forholdet i likningen fordi vi utfører samme operasjon på begge sider av likhetstegnet Venstre side blir minus 5 ganger 3x, som er minus 15x Også har vi minus 5 ganger 2y som er pluss 10y Det er lik 3 ganger minus 5 som er minus 15 Nå er vi klare til å eliminere Hvis vi legger sammen venstre side her med venstre side på den gule skal vi også legge til minus 15 på høyre side av den gule likningen så vi legger faktisk til det samme på begge sider Det er fordi, de to er lik hverandre La oss gjøre det . Vi har altså 5x - 15x som blir minus 10x y'ene går opp i hverandre Minus 10y + 10y = 0y Dette var hele meningen når vi ganget likningen med minus 5 Det er lik 15 - 15 som er 0 - 10x = 0 Vi dividerer med minus 10 på begge sider og får at x = 0 Nå kan vi substituere dette inn i en av de andre likningene for å finne ut hva y blir La oss bruke den øverste likningen Vi får 5 * 0 - 10y = 15 Det blir minus 10y = 15 La oss skrive det -10y = 15 Vi dividerer begge sider med -10 og får y = minus 15/10, som er minus 3/2 Dersom vi hadde tegnet grafen til begge likningene ville grafene krysset hverandre i punktet (0, -3/2) Vi kan kontrollere om dette også gjelder denne Den opprinnelige likningen var 3x minus 2y er lik 3 3 ganger 0, minus 2 ganger minus 3/2 Dette er 0 og dette er pluss 3 . Disse går opp i hverandre så det blir positivt Pluss 3 er lik 3 Dette punktet oppfyller begge likningene våre La oss lage en oppgave til der vi må gange likningene før vi kan bruke eliminasjon av en variabel Det gjør vi Vi har likningen 5x + 7y = 15 og vi har 7x - 3y = 5 Her heller ville det ikke hjulpet hvis vi subtraherte venstre side eller adderte de De har ikke samme koeffisienter La oss først velge hvilken variabel vi vil eliminere Si at vi denne gang vil eliminere x Det spiller ingen rolle hvem av variablene vi velger Det betyr ikke noe Vi kan velge både x og y, her velger vi x På en eller annen måte skal vi nå endre enten den ene eller begge likningene sånn at x får samme koeffisient eller den negative og positive versjonen av samme tall Da kan vi legge sammen venstresidene og eliminere x Men det ser ikke ut til at det fins et tall vi kan gange denne med, for å få dette til å bli minus 5 Så vi må altså gange med en eller annen brøk Det skal vi også gjøre med den andre Enda mer moro ville det vært om vi kunne fått begge koeffisienten til å bli det minste felles multiplum Vi kan få begge koeffisienter til å bli 35 Det får vi til ved å gange likningene med koeffisientene i den andre Vi kan altså gange den øverste likningen her med 7 Vi velger 7, for da blir dette 35 Så kan vi gange den nederste likningen med minus 5 Det gjør vi for da blir dette minus 35 Det gjelder å eliminere x'ene så hvis dette blir 35, og dette minus 35 er vi på god vei Da kan vi legge sammen venstre- og høyresidene av likningene sammen Hva blir denne likningene når vi ganger med 7? La oss rulle litt opp Det blir 35x + 49y = 105 70 + 35 = 105 . 15 ganger 7 er lik 105 Det var den øverste likningen Den nederste blir minus 5 ganger 7x som er minus 35x. Minus 5 ganger minus 3y blir pluss 15y Minus og minus blir pluss Til lsutt har vi 5 ganger minus 5 5 ganger minus 5 er lik minus 25 Vi kan starte med den øverste likningen og legge til det samme på begge sider Det samme er minus 25, fordi minus 25 er lik dette uttrykket La oss legge sammen venstre- og høyresidene . Når vi gjør det legger vi til det samme på begge sider På venstre side går x'ene opp i hverandre 35x - 35x Det var akkurat det vi ønsket De forsvinner, også har vi 49y + 15y blir 64y 64y = 105 - 25 er lik 80 Vi dividerer med 64 på begge sider og får 80/64 Hva skal vi forkorte med? Vi kan forkorte med både 8 og 16 . Vi starter med 8 Det er enklest Nå blir brøken 10/8, og den kan vi forkorte med 2 og får 5/4 Hadde vi forkortet med 16 med en gang ville vi også fått 5/4 y er altså lik 5/4 Nå skal vi finne ut hva x er lik Vi kan substituere dette inn i en av disse likningene eller i en av de originale likningene La oss substituere det inn i den andre originale likningen Der hadde vi 7x - 3y = 5 Det er den originale versjonen av den andre likningen som vi endret til dette Vi får altså 7x - 3y, som er 5/4, er lik 5 Det er 7x - 15/4 = 5 Det må det være Minus 3 ganger 5/4 er lik 15/4 . Det er lik 5 La oss legge til 15/4 på begge sider Hva får vi da? Venstre side er 7x Disse går opp i hverandre Dette blir lik 5 som er det samme som 20/4 pluss 15/4 Det betyr at 7x = 35/4 Vi kan nå gange begge sider med 1/7, eller dividere begge sider med 7 Det er det samme La oss gange begge sider med 1/7 Det er det samme som å dividere med 7 Disse går opp i hverandre vi får x er lik 35 delt på 7, som er 5 og 7 delt på 7 er 1 x er altså lik 5/4 Skjæringpunktet blir altså x = 5/4 og y = 5/4 Grafisk ville det vært i punktet (5/4, 5/4) La oss kontrollere det i den øverste likningen Hva er 5 <i> 5/4 + 7 </i> 5/4? . Det skal være lik 15 Dette er 25/4 og dette er pluss 35/4 Det blir 60/4, som er lik 15 Det tilfredsstiller altså den øverste likningen Du kan selv sjekke den nederste Men det burde virke fordi vi brukte den til å finne ut at x var lik 5/4