Bevis for andregradsformelen

I forrige video fortalte jeg at hvis du har en kvadratisk ligning i form av ax kvadrat pluss bx pluss c er lik null du kan bruke den kvadratiske formelen til å finne løsningene til denne ligningen. Den kvadratiske formelen var x. Løsningene vil være lik negativ b pluss eller minus kvadratroten av b kvadrat minus 4ac alt dette over 2a. Vi lærte å bruke det. Du erstatter bokstavelig talt tallene a for a, b for b, c for c, så du får to svar da du har et pluss eller minus der. Hva jeg ønsker å gjøre i denne videoen er å faktisk bevise det for deg Bevise at ved hjelp av, i hovedsak fullføre kvadratet kan jeg komme fra det til det rett der borte. Så det første jeg ønsker å gjøre, så jeg kan begynne å fullføre kvadratet fra dette punktet rett her, er - la meg omskrive ligningen her - så vi har ax - la meg gjøre det i en annen farge - Jeg har ax kvadrat pluss bx, pluss c er lik 0. Så det første jeg vil gjøre er å dele alt med a, så jeg kun har a 1 her ute som en koeffisient. Så du deler alt med a, du får x kvadrat pluss b over a x, samt c over a, er lik 0 over a som fremdeles er 0. Nå ønsker vi å - vel, la meg få c over a begrepet over til den høyre siden, så la oss trekke fra c over a fra begge sider. Vi får x kvadrat pluss b over ax, pluss Vel jeg lar det stå tomt der, da dette er borte nå, vi trekker den fra på begge sider - er lik negativ c over a jeg lot det være en plass der, slik at vi kan fullføre kvadraten. Vi så i videoen om å fullføre kvadraten at du bokstavelig talt kun tar 1/2 av denne koeffisient her og lager en kvadrat av den. Så hva er b over a delt på 2? Eller hva er 1/2 ganger b over a? Vel, det er b over 2a, selvfølgelig skal vi lage den til en kvadrat. Du tar 1/2 av denne og du lager en kvadrat. Det er hva vi gjør i å fullføre et kvadrat, slik at vi kan gjøre dette til den perfekte kvadrat av en binomisk. Vi kan selvfølgelig ikke bare legge til b over 2a kvadrert til den høyre siden. Vi må legge det til på begge sider. Så du har a pluss b over 2a kvadrert der også. Hva skjer nå? Vel dette her, dette uttrykk rett her, Dette er akkurat det samme som x pluss b over 2a kvadrert. Hvis du ikke tror meg, kommer jeg til å multiplisere det ut. At x pluss b over 2a kvadrert er x pluss b over 2a, ganger x pluss b over 2a. x ganger x er x kvadrert. x ganger b over 2a er pluss b over 2ax. Du har b over 2a ganger x, som er en annen b over 2ax, og så har du b over 2a ganger b over 2a, som er pluss b over 2a kvadrert. Det og denne er den samme ting, fordi disse to midterste begreper, b over 2a pluss b løpet 2a, som er det samme som 2b over 2ax, som er det samme som b over ax. Så dette forenkles til x kvadrert pluss b over ax, pluss b over 2a kvadrert, som er akkurat det vi har skrevet her. Det var hele poenget med å legge dette begrepet til begge sidene, slik at det blir et perfekt kvadrat. Så den venstre siden forenkles til dette. Den høyre siden, kanskje ikke fullt så enkelt. Kanskje vi lar det være på den måten det er akkurat nå. Forresten la oss forenkle det litt. Så vi kan omskrive den høyre siden litt. Dette kommer til å være lik til - vel, dette kommer til å bli b kvadrert. Jeg skriver dette begrepet først. dette er b - la meg gjøre det med grønt, slik at vi kan følge med. Slik at det begrepet der kan skrives som b kvadrert over 4a kvadrat. Hva er dette begrepet? Hva ville det bli? Dette skulle bli - for å ha 4a kvadrert som nevner må vi multiplisere teller og nevner med 4a. Så dette begrepet her vil bli minus 4ac over 4a kvadrert. Du kan kontrollere for deg selv at det er det samme som det. Jeg multiplisere bare teller og nevner med 4a. Faktisk blir 4 kansellert ut og så blir a kansellert ut og du har bare en c over a. Så disse, dette og det er ekvivalente. Jeg byttet det jeg skriver først. Du ser kanskje allerede begynnelsen på den kvadratiske formelen her. Så dette kan jeg omskrive. Dette kan jeg omskrive. Den høyre siden her, kan omskrives som b kvadrert minus 4ac, alt dette over 4a kvadrert. Dette ser veldig nært ut. Legg merke til at b kvadrert minus 4ac allerede vises. Vi har ikke kvadratroten ennå, men vi har ikke tatt kvadratroten for begge sider av denne ligningen, så la oss gjøre det. Så hvis du tar kvadratroten for begge sider, så vil venstre siden bli x pluss-- la meg rull ned litt x pluss b over 2a kommer til å være lik pluss eller minus kvadratroten for denne tingen. Kvadratroten av denne er kvadratroten av teller over kvadratroten av nevneren. Så det kommer til å være pluss eller minus kvadratroten av b kvadrert minus 4ac over kvadratroten av 4a kvadrert. Hva er kvadratroten av 4a kvadrert? Det er 2a, ikke sant? 2a kvadrert er 4a kvadrert. 2a kvadrert er 4a kvadrert. Kvadratroten for denne er det her. Så for å gå fra her til her, tok jeg kvadratroten av begge sidene for denne ligningen. Nå ser denne veldig lik den kvadratiske. Vi har a b kvadrert minus 4ac over 2a, nå må vi egentlig bare trekke fra b over 2a fra begge sider av ligningen, og så er vi ferdige. Så la oss gjøre det. Så hvis du trekker fra b over 2a fra begge sider av denne ligningen, hva får du da? Du får x er lik negativ b over 2a, pluss eller minus kvadratroten av b kvadrert minus 4ac over 2a, felles nevner. Så dette tilsvarer negativ b. La meg gjøre dette i en ny farge. Så det er oransje. Negativ b pluss eller minus kvadratroten av b kvadrert minus 4ac, alt dette over 2a. Og vi er ferdig! Ved å fullføre kvadratet med kun generelle koeffisienter foran vår a, b og c, var vi i stand til å utlede den kvadratiske formelen. Akkurat slik. Forhåpentligvis fant du det like underholdene som meg.