Kvadratiske uttrykk i tekstoppgaver: størrelse i trekant

Høyden til et triangel er 4 tommer mindre en høyden til grunnlinjen. Arealet til triangelet er 30 i annen. Finn ut høyden og grunnlinjen. Ved å bruke formelen A= 1/2 grunnlinjen ganger høyde finner du arealet til en trekant. Så la oss tenke over dette litt. Nå skal jeg tegne en trekant her. Så dette er triangelet vårt og la oss si at lengden til denne bunnstreken, er grunnlinjen vår som vi kan kalle for b. Dette er høyden, denne streken her. Og arealet er lik halvparten av grunnlinjen ganger høyden = 1/2 b h. Den første setningen forteller oss at trekantens høyde er 4 tommer mindre enn lengden på grunnlinjen. Så høyden er lik grunnlinjen minus 4. Det er det den første setningen forteller oss. Arealet av trekanten er 30 tommer i annen. Så om vi tar en halv grunnlinje ganger høyde, da får vi 30 tommer i annen. Vi kan også si at 30 i annen er lik, en halv ganger grunnlinje ganger høyde. Nå, i stedet for å skrive "h" for høyde, så vet vi at høyden er det samme som 4 mindre enn grunnlinjen. Så da kan vi skrive det. Også kan vi se hva vi får her da. Dette skrive jeg med gult. Vi får 30 er lik b/2, ganger (b-4) Nå la oss fordele b over 2. Så 30 er lik b i annen del på 2 - pass på, b del på 2, ganger b er kun b i annen del på 2. Og b/2, ganger minus 4 er minus 2b. Nå for å bli kvitt denne brøken, så multipliserer vi begge sider i ligningen med 2. Så da multipliserer vi denne siden med 2 også multipliserer vi denne siden også med 2. På venstre siden får vi 60, mens på høyre siden får vi 2 ganger b i annen del på 2, noe som blir b i annen, og minus 2b ganger 2 er minus 4b. Og nå har vi en annengradsligning. Og beste måte å løse en annengradsligning på, er ved å få alle begrepene på en side av ligningen og gjøre dem lik 0. Så la oss trekke fra 60, fra begge sider av ligningen. Da får vi 0 er lik b i annen minus 4 b minus 60. Det vi må gjøre nå er å faktorisere denne. Om vi har produktet av noe og det tilsvarer null, så betyr det at en eller begge av de tingene må være null, så da må vi faktorisere b i annen minus 4b minus 60. Så de vi vil gjøre er å finne 2 tall som har minus 4 som sum og -60 som produkt. Og basert på et negativt produkt, så vet vi at de 2 tallene har ulike fortegn. Og dette forteller oss at forskjellen på verdiene, kommer til å være 4. Denne kommer til å være 4 mindre enn de andre. Du kan se på produktet til faktorene av 60. 1 og 60 er for langt unna. Selv om du du hadde byttet fortegn på en av de, så ville du endt opp med pluss eller minus 59 som sum. 2 og 30 er fortsatt for langt unna. 3 og 20 er fortsatt for langt unna. Hadde du skiftet fortegn på en av de så hadde du enten fått pluss 17 eller minus 17. Så har du 4 og 15, som også er for langt unna. Om du gjorde et av tallene negative, så ville du endt opp med 11 eller minus 11. Også har vi 5 og 12 som fortsatt er for langt unna. Da ender du opp med enten pluss eller minus 7. Nå har vi 6 og 10, og nå blir det spennende. De er 4 fra hverandre, og vi vil at det større tallet skal være negativt slik at summen blir negativ. Så om vi gjør det til 6 og minus 10, så får vi minus 4, og produktet blir -60. Så det funker. Du kan si at dette tilsvarer b pluss 6 ganger b minus 10. Her må jeg være nøye. Denne b'en er ikke den samme som b'en vi bruker i ligningen. Jeg brukte denne b'en til å vise at vi ser etter 2 ukjente som blir lagt opp til dette andre begrepet. Det er en annen b. Jeg kunne ha brukt x og y. Jeg kan vel gjøre det nå. Så slipper vi uklarheter. Nå, x plus y er lik minus 4 og x ganger y er lik minus 60. Så vi har b pluss x ganger b pluss y. x er seks og y er minus 10. Og det er lik 0. La oss løse det her før vi går tilbake hvor jeg viser at du også kan løse dette med gruppering. Ut ifra dette, vet vi at en av de her tilsvarer 0. Enten b plus 6 er lik 0, eller b minus 10 er lik 0. Om vi trekker fra 6 på begge sider av ligningen så får vi; b er lik minus 6. Eller om du legger til 10 til begge sider av ligningen så får du; b er lik 10. Og det er de to løsningene våre. Du kan sette dem inn igjen for å kontrollere svaret. Den andre måten du kan løse dette på, som kommer til å gi oss samme svar, er ved å dele opp minus 4b inn i komponentene sine. Så du kunne delt dette opp i 0 er lik b i annen. Deretter kunne du delt det opp i pluss 6 b, minus 10 b, minus 60. Også faktorisere ved å gruppere, de to første og de to andre begrepene. Også legger vi det sammen. I den første kan du faktorisere ut en b, så du får b ganger b pluss 6. I den andre kan du faktorisere ut en minus 10. Det blir da minus 10 ganger b, pluss 6. Alt det er lik 0. Og nå kan du faktorisere ut en b pluss 6. Så om du faktoriserer en b pluss 6 her, da får du 0 er lik b minus 10, ganger b, pluss 6. Vi faktoriserer rett og slett det ut av dette uttrykket. Da sitter du igjen med en b minus 10. Du får det samme som det vi gjorde i dette ene trinnet her. Gjør det du syntes er best. Men uansett så får vi samme svarene. Altså b er lik minus 6, eller b er lik 10. Her må vi være forsiktige. Ikke glem at dette er en tekstoppgave. Vi kan ikke bare si, at b kan være minus 6 eller 10. Vi må tenke over om det gir mening i sammenhengen til oppgaven. Vi snakker om trekanter. Eller lengdene på sidene til trekanter. Vi kan ikke ha en negativ verdi på lengden. Det vil si at lengden på en trekant kan umulig ha en lengde på minus 6. Så da kan vi stryke det ut, og da ender vi opp med en løsning. Jeg gjorde nesten en tabbe og glemte at dette var en tekst oppgave. Den eneste mulige løsningen er en grunnlinjen på 10. Og nå kan vi se at oppgaven ber om både grunnlinjen og høyden. Atter en gang, vi er ferdig med grunnlinjen som er på 10. Høyden er 4 tommer mindre. Altså b minus 4. Noe som betyr at høyden er 6. Og dette kan du kontrollere. Arealet er 6 ganger 10 ganger en halv, noe som er lik 30.