Faktorisere perfekte kvadrater

Faktoriser 25x² minus 30x pluss 9, så vi har en ledende koeffisient som ikke er 1. Det ser ikke ut som det er noen felles faktorer, både 25 og 30 er delelig på 5, men 9 er ikke delelig på 5. Vi kan faktorisere ved grupper. Om vi ser nøyere etter, ser vi noe interessant. 25 er et kvadrattall, så 25x² er også et kvadrattall, fra 5x. 9 er også et kvadrattall, fra 3 eller -3. Dette kan også komme av -5x. Så kanskje dette er et perfekt kvadrattall. La oss tenke på hva som skjer om et kvadrattall er binomial. Spesielt når koeffisienten av x leddet ikke er 1. Vi har (ax+b)². Hvordan vil dette se ut om vi utvider til et trinomial uttrykk. Dette er det samme som (ax+b) gange (ax+b), som er det samme som ax gange ax. ax gange ax er a² x² pluss ax gange b, som er abx pluss b gange ax, som er bax eller abx pluss b gange b. Så pluss b². Alt dette er lik a² x² pluss disse to er samme ledd, pluss 2abx pluss b². Dette er det som skjer når du tar kvadratroten av en binomial. Dette mønsteret ser ut til å virke ganske bra. La meg skrive om oppgaven vår. Vi har 25² minus 30x pluss 9. Så om dette er et perfekt kvadrattall, betyr det at a² er 25 her. La meg gjøre det i en annen farge, b² er 9. Det forteller oss at a kan være pluss eller minus 5, og at b kan være pluss eller minus 3. La oss se om det stemmer med leddet i midten. For at dette leddet skal stemme, jeg prøver å finne en god farge. 2ab, denne delen her. 2ab må være lik -30. La meg skrive det her borte. 2ab må være lik -30 eller om vi deler begge sider på 2, må ab være lik -15. Det betyr at om produktet er negativt, må en del være positiv og en del være negativ. Heldigvis for oss er produktet av 5 og 3, 15. Så om en er positiv og en er negativ får vi -15. Så det ser ut til at vi er på rett vei. Så vi kan si at a er lik 5 og b er lik -3, det hadde hadde gitt os ab er lik -15. Eller kan vi si at a er lik -5 og b er lik 3. Begge hadde fungert om vi faktoriserte. La oss gjøre den første. Om a er 5 og b er -3, (5x-3)². a er 5 og b er -3. Eller vi kan bytte tegn på begge leddene, a kan være -5 og b kan være 3, (-5x+3)². Begge disse er måter å faktorisere leddet. Kanskje du spør deg selv hvordan kan begge disse multipliseres til samme svar. Husk at -5 pluss 3 kan faktoriseres til -1. Så det er det samme som -1 gange (5x-3)², og det er det samme som -1² gange (5x-3)². -1² er lik 1. Derfor er dette og dette det samme. Dette blir det samme som (5x-3)², som er det samme som det der borte. Begge disse er mulige svar.