Introduksjon til gruppering

I denne videoen, vil jeg fokusere på at par andre teknikker for faktorisering av polynomer. Spesielt, vil jeg fokusere på kvadratiske ligninger som ikke har en ledende koeffisient av 1. For eksempel, om jeg ville faktorisere 4x opphøyd i to pluss 25x minus 21. Alt vi har faktorisert hit till, eller alle de kvadratiske ligningene vi har faktorisert hit till, har enten hatt en 1 eller negativ 1 hvor denne 4-eren står. Plutselig har vi nå en 4-er her. Så det jeg skal vise deg nå, er et teknikk som kalles faktorisering ved gruppering. Det er litt mer involvert enn det vi har lært før, men det er et morsomt triks. Men den vil utgå til en viss grad etter du får lært den kvadratiske formelen, siden, den kvadratiske formelen er, for å være ærlig, mye enklere. Men dette er hvordan det fungerer. Jeg skal vise deg teknikken. Og ved slutten av videoen, skal jeg vise deg hvorfor det fungerer. Det vi må gjøre her, er å finne på to nummer, a og b, hvor a ganger b er lik 4 ganger negativ 21. Så a ganger b skal være lik 4 ganger negativ 21, som er lik negativ 84. Og de samme to numrene, a pluss b, må være lik 25. For å være tydelig Denne er 25, så de må være lik 25. Dette er hvor 4-eren er. Så vi tar 4 ganger negativ 21. Altså, negativ 21. Så hvilket to nummer kan vi bruke? Jo, vi må se på faktorene til negativ 84. Og igjen, en av disse må være positivt. De andre må være negative, siden produktet er negativt. Så la oss tenke på de forskjellige faktorene som kan brukes. 4 og negativ 21 virker fristende, men når du legger de sammen får du negativ 17. Eller, om du tar negativ 4 og 21, får du positiv 17. Det går ikke. La oss prøve noen andre kombinasjoner. 1 og 84, de står for langt fra hverandre når det gjelder differansen. Fordi det er i grunn det du gjør, om én er negativt og én er positivt. For stor avstand. Skal vi se. Du kan ta 3-- Nå er jeg for ivrig. 2 og 42. Igjen, for stor avstand. Negativ 2 pluss 42 er 40. 2 pluss negativ 42 er negativ 40-- for stor avstand. 3 og-- la oss se, 3 går inn i 84-- 3 går inn i 8 to ganger. 2 ganger 3 er 6. 8 minus 6 er 2. Dra ned 4-eren. Det går akkurat 8 ganger. Så 3 og 28. Dette virker interessant. 3 og 28. Og husk, én av disse må være negative. Så om vi har negativ 3 pluss 28, blir det lik 25. Nå har vi funnet våre to nummer. Men, det blir nok ikke en like enkel oppgave som når vi gjorde dette med en 1 eller negativ 1. Det vi skal gjøre nå er å dele opp denne enheten her. Vi skal dele det opp som positiv 28x minus 3x. Vi spliter bare den enheten. Denne enheten er den enheten der. Og selvfølgelig, har du minus 21 der, og så har du 4x opphøyd i to her borte. Du tenker kanskje, hvorfor valgte du å sette 28 der, og negativ 3 der? Og det har faktisk noe å si. Måten jeg har tenkt på er, 3 eller negativ 3, og 21 eller negativ 21, de har noen felles faktorer, særlig faktoren 3 har de felles. Og 28 og 4 har noen felles faktorer. Så jeg har gruppert 28 på siden til 4. Og du ser øyeblikkelig hva jeg mener. Om vi, bokstavelig talt, grupperer disse sånn at enheten blir 4x opphøyd i to pluss 28x. Da blir denne siden her borte, i rosa pluss negativ 3x minus 21. Igjen, jeg har valgt disse. Jeg har gruppert negativ 3 med 21, eller negativ 21, siden begge er delbart med 3. Og jeg har gruppert 28 med 4, siden begge er delbart med 4. Nå, faktoriserer vi så mye vi kan ut i fra disse gruppene. Begge disse enhetene kan deles med 4x. Så denne oransje enheten er lik 4x ganger x-- 4x opphøyd i to delt med 4x er bare x-- pluss 28x delt med 4x er bare 7. Nå, denne andre enheten. Husk, du faktoriserer ut alt som kan faktoriseres. Begge disse enheten er delbart med 3 eller negativ 3. Så la oss faktorisere ut en negativ 3. Og så blir dette x pluss 7. Nå legger du kanskje merke til noe. Vi har x pluss 7 ganger 4x pluss x pluss 7 ganger negativ 3. Vi kan faktorisere ut x pluss 7. Dette er kanskje ikke åpenbart. Du er sikkert ikke vant til å faktorisere ut en hel binom. Men du kan tenke på det som en a. Eller om du har 4xa minus 3a, så kan du faktorisere ut en a. Og så kan jeg bare la dette stå som et minus tegn. La meg slette dette plusstegnet her. Fordi det er bare minus 3, ikke sant? Pluss negativ 3, er det samme som minus 3. Så hva kan vi gjøre her? Vi har en x pluss 7, ganger 4x. Vi har en x pluss 7, ganger negativ 3. La oss faktorisere ut x pluss 7. Vi får da x pluss 7, ganger 4x minus 3. Minus den 3-eren der. Og så har faktorisert vår binom. Unnskyld, vi har faktorisert vår kvadratisk ligning ved gruppering. Vi har faktorisert det inn i to binomer. La oss ta ett eksempel til av dette, siden det er litt involvert. Men ettervert når du blir vant til det, er det litt morsomt. Si vi vil faktorisere 6x opphøyd i to pluss 7x pluss 1. Samme fremgangsmåte. Vi vil finne a ganger b som er lik 1 ganger 6, som er lik 6. Og vi vil finne a pluss b som er lik 7. Dette er litt mindre komplisert. Hva er-- jo, de åpenbare er 1 og 6, ikke sant? 1 ganger 6 er 6. 1 pluss 6 er 7. Så vi har a er lik 1. Eller, jeg skal ikke en gang fordele de enda Numrene her er 1 og 6. Vi vil splitte denne inn i 1x og 6x. Men vi vil gruppere det slik at det er ved siden av noe som den deler faktorer med. Så da har vi 6x opphøyd i to her, pluss-- Jeg legger 6x først siden 6 og 6 deler en faktor. Da har vi pluss 1x, ikke sant? 6x pluss 1x er lik 7x. Det var hele poenget. At de trengte å til sammen bli 7. Og så har vi den siste pluss 1 der. Ut i fra hver av disse gruppene, kan vi faktorisere ut så mye vi vil. I denne første gruppen, la oss faktoriser ut 6x. Så denne første gruppen blir 6x ganger-- 6x opphøyd i to delt med 6x er bare x. 6x delt med 6x er bare 1. Og så, den andre gruppen-- vi har en pluss her. Mens i denne andre gruppen, har vi bare x pluss 1. Eller vi kan til og med skrive 1 ganger x pluss 1. Du kan forestille deg at jeg bare har faktorisert ut 1, for å si det sånn. Nå har jeg 6x ganger x pluss 1, pluss 1 ganger x pluss 1. Jeg kan faktorisere ut x pluss 1. Om jeg faktoriserer ut x pluss 1, blir det lik x pluss 1 ganger 6x pluss 1. Det jeg gjør er bare å distribuere baklengs. Det var forhåpentligvis ikke for vanskelig Nå skal jeg forklare hvorfor dette lille magiske systemet fungerer. Hvorfor det egentlig fungerer. La meg gi en eksempel. Jeg tar det i generelle begreper. La oss si at jeg har ax pluss b, ganger cx-- egentlig, er jeg redd for å bruke a-er og b-er. Jeg tror det blir forvirrende, siden jeg har brukt a-er og b-er her. De blir ikke det samme. Så la meg bruke helt forskjellige bokstaver. La oss si fx pluss g, ganger hx pluss, jeg bruker j istedenfor i. Du lærer etter hvert hvorfor jeg ikke liker å bruke i som variabel. Så hva blir dette lik? Jo, det blir fx ganger hx som er fhx. Og så, fx ganger j. Så, pluss fjx. Og så, har vi g ganger hx. Så, pluss ghx. Og så g ganger j. Pluss gj. Eller, om vi legger til disse to enhetene i midten, får vi fh ganger x, pluss-- legg till disse to enhetene-- fj plus gh x. Pluss gj. Hva er det jeg gjorde her? Husk, at i alle slike oppgaver hvor du har et koeffisient som ikke er 1 eller negativ 1, trenger vi å lete etter to nummer hvor summen er dette, og produktet er lik produktet av den ganger den. Her har vi to nummer som kan legges sammen-- la oss si at a er lik fj. La oss si at a er lik fj. Dette er a. Og b er lik gh. Så a pluss b blir lik koeffisienten i midten. A pluss b blir lik koeffisienten i midten. Hva er a ganger b? a ganger b blir lik fj ganger gh. Vi kan omplassere disse enhetene. Vi multipliserer bare mange enheter. Så det kan omskrives som f ganger h ganger g ganger j. Det blir det samme. Hva er fh ganger gj? Det er lik fh ganger gj. Dette er lik den første koeffisienten ganger konstanten. Så a pluss b blir lik koeffisienten i midten. Og a ganger b blir lik den første koeffisienten ganger konstanten. Nettopp derfor fungerer faktorisering ved gruppering, derfor kan vi finne ut av hva a og b er en gang. Nå skal jeg avslutte med noe litt anderledes, for å være sikker at du har et godt avrundet utdanning i det å faktorisere. Det jeg har lyst til er å forklare hvordan du kan faktorisere ting litt mer fullstendig. Og dette er på en måte tilleggsinformasjon Jeg skulle lage en hel video om det. Men, jeg tror at det kanskje er åpenbart for deg. Så la oss si vi har-- la meg finne på en god en nå. Si vi har negativ x opphøyd i tre, pluss 17x opphøyd i to, minus 70x. Med en gang, tenker du kanskje, dette er ikke engang en kvadratisk ligning. Dette vet jeg ikke hvordan skal løses. Den har en x opphøyd i tre. Og det du først burde innse er at hvert enhet her er delbart med x. Så la oss faktorisere ut x. Enda bedre, er om vi faktoriserer ut negativ x. Om du faktoriserer ut negativ x, blir det lik negativ x ganger-- negativ x opphøyd i tre delt med negativ x er x opphøyd i to. 17x opphøyd i to delt med negativ x er negativ 17x. Negativ 70x delt med negativ x er positiv 70. x-ene kanselleres ut. Nå har vi noe som kanskje virker kjent. Nå har vi en standard kvadratisk ligning hvor den ledende koeffisient er 1. Så vi trenger bare å finne to nummer som har 70 som produkt, og som kan legges sammen til negativ 17. Numrene som jeg tenker på med en gang er negativ 10 og negativ 7. Produktet deres er 70. Om du legger de sammen får du negativ 17. Så denne delen her blir x minus 10, ganger x minus 7. Også, selvfølgelig, har vi den ledende negativ x-en. Ideen her er bare å se om du kan faktorisere noe ut. Og så får du en form som du kanskje kjenner igjen. Dette var forhåpentligvis hjelpsom. Jeg vil gjenta det jeg viste i starten av videoen. Jeg synes at det er en veldig kul triks å kunne faktorisere ting som ikke har en 1 eller negativ 1 som ledende koeffisient. Men, du vil finne ut av enklere måter å gjøre dette på, spesielt med den kvadratiske formelen, om ikke så lenge.