Hvorfor kan vi subtrahere en likning fra en annen i et likningsett?

Her har vi en interessant oppgave. På venstre side av vekten har vi 2 forskjellige typer ukjente lodd. En av dem er X-lodd, og alle X'ene har samme vekt. Men det er også blå Y-lodd, og de er ikke nødvendigvis det samme som X. Her er det 2 X'er og 1Y. Deres totalvekt tilsvarer de 8 kg på den andre siden av vekten. Hver av disse boksene veier 1 kilo. Kan vi uttrykke dette matematisk? Kan vi uttrykke denne tegningen med algebra? Tegningen viser noen lodd på den ene siden og noen lodd på den andre. La oss tenke over den totale vekten her. Det er 2 lodd, som veier X hver. Det er derfor 2x totalt. vi har også 1 lodd med Y. Det er altså ytterligere Y. Vi kan nå finne den totale vekten på venstre side. På venstre side har vi 2X pluss 1Y. Det er vekten av alt. 2X og Y er venstre sides vekt. Høyre sides vekt er 8 kg. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 kilo. Vi kan se at vekten er i balanse, så de 2 sidene må veie like mye. Vi kan derfor skriver et likhetstegn. Kan vi gjøre noe med ligningen, slik at vi kan finne X og Y? Vi må finne ut hvor mye de veier hver. Kan vi gjøre noe med vår kunnskap? Vi kan egentlig ikke gjøre mye. Kanskje tror man, at vi kan fjerne Y fra begge sider av vekten. Hvis vi fjerner Y på denne siden,vet vi ikke hva Y tilsvarer over her. Dette betyr derfor at vi ikke kan eliminere Y fra begge sider. Vi må beholde de inntil videre. Det samme gjelder X 'ene. Vi har ikke nok informasjon enda til å finne ut av det. Heldigvis for oss har vi noen flere av disse loddene. Vi kan ta 1 av X-loddene. Vi legger det her, og vi tar et Y-lodd og setter det her. Vi vil fortsette å legge til, til vekten er balansert. Hvis vi bare legger til denne, går denne siden ned, fordi det ikke er noe på den siden. Vi vil imidlertid fortsette å legge til lodd,til det hele er i balanse. Vekten er i balanse, når vi har 5 kilo til høyre. Vi vet nå, at det er 1 X-lodd og 1 Y-lodd på venstre side og 5 kilo på høyre side. Vekten er i balanse. Kan vi uttrykke det med algebra? Den totale vekten på venstre side er X pluss Y. la oss rette litt på dette. Det står X pluss Y på venstre side og 5 kilo på høyre side. Vi vet at vekten er i balanse. Dette betyr at hver side veier like mye. Igjen, vi kan ikke gjøre noe med dette uttrykket alene. Vi finner ikke X og Y. Hvis Y er 4, er X lik 1, men X kan også være 4, og så er Y lik 1. Vi vet ikke. Nå kommer den interessante delen: vi kan sammenligne 2 informasjoner, og derved finne ut hva X og Y er. La oss tenke på hvordan vi kan gjøre det. Vi vet at X pluss Y er lik 5. Vi vil gjerne fjerne ett X og ett Y på venstre side av ligningen. Hvis vi fjerner X og Y på venstre side, hva skal så gjøre likt på høyre side, så vi fjerner samme massen? Vi vet at X og Y på venstre side er lik 5 kilo på høyre side. Hvis vi fjerner X og Y, må vi kvitte oss med 5 kilo. La oss tenke over hva det betyr. I dette tilfellet har vi bare X igjen her og noen av loddene igjen på denne siden. Hvordan kan vi uttrykke det med algebra? Vi fjerner X og Y fra venstre side. Vi trekker fra X, og vi trekker fra Y. Vi kan også si at vi trekker fra X pluss Y. Vi gjør dette på venstre side. Hva skal vi gjøre på høyre side? X og Y har en vekt på 5 kg. Derfor trenger vi å trekke fra 5 kilo på høyre side. Det vet vi kun fordi vi kan se det på den andre vekten. Vi fjerner 5. Å fjerne en X og en Y er det samme som å fjerne 5 kilo. Hva står vi igjen med, hvis vi fjerner en X og en Y på venstre side? Dette blir det samme. Vi må fjerne en X og en Y fra venstre side. Vi har på den andre vekten fått vite hva det veier. På venstre side står vi igjen med kun 1X. Det var 1Y, og vi fjernet 1Y. Derfor er det ingen Y'er igjen. Vi står kun igjen med X. Hva gjenstår på høyre side? Det var 8 og X og Y er lik 5, så vi fjernet 5. 8 minus 5 er lik 3. Det er 3. Ved hjelp av informasjonen fra den andre vekten har vi funnet ut at X lik 3. Nå gjenstår bare å finne ut hva Y er. Vi har funnet X og mangler nå Y. Vi kan kikke på begge vektene. Denne er nok den ekleste. Vekten av X pluss vekten av Y er 5 kilo. Nå vet vi at X er lik 3. X veier 3 kilo. Vi kan derfor skrive at 3 pluss Y er lik 5. La oss nå fjerne 3 fra begge sider. Hvis vi fjerner 3 fra venstre side, skal vi også fjerne 3 fra høyre side, så vekten forblir i balanse. Vi sitter igjen med at Y er lik 2. Det veier like mye. Vi har fjernet 3 fra begge sider. På venstre side står det Y igjen, og på høyre side er det 2 kg igjen. X veier 3 kilo, og derfor veier Y 2 kilo. Vi kan sjekke om det er fornuftig her. Vi kan finne regnet ut om loddene her på venstre side sammenlagt faktisk veier 8 kg. De 2X må veie 6 kg, og Y veier 2 kg, som gir 8 kilo totalt. 3 pluss 2 er altså lik 5.