Hovedinnhold
Gjeldende klokkeslett:0:00Total varighet:9:54

Introduksjon til proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet

Videotranskripsjon

I den her videoen skal vi snakka om proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet. Proporsjonalitet holder vi til venstre, og den omvendte proporsjonaliteten holder vi til høyre. La oss starte med å se på en ganske enkel definisjon for de 2 variable, som er proporsjonale med hverandre. y er proporsjonal med x, hvis y er lik med en konstant ganger x. La oss tenke litt over det. Husk først, at en sånn konstant, som vi kaller k her, kan være et hvilket som helst tall. La oss se på noen konkrete eksempler, hvor y er proporsjonal med x. Vi kan eksempelvis ha y er lik med x. I den her situasjonen er konstanten jo 1. Det skrev vi ikke, men vi kunne ha skrevet y er lik 1x. Så er k lik 1. Vi kunne også ha skrevet y er lik 2x, eller y er lik en halv x. y er lik minus 2x er også en proporsjonalitet. Vi kan også skrive y er lik minus en halv x. Vi kan faktisk også skrive y er lik pi ganger x, eller vi kan skrive y er lik minus pi ganger x. Forhåpentligvis er konseptet tydelig. Hvis vi har y er lik med en konstant ganger x, er det proporsjonalt. La oss nå gå litt dypere i de her ekseplene for å gjøre det litt mer håndterlig. Vi lager et eksempel med både en positiv og en negativ konstant, fordi det kan gjøre det litt mer forståelig. La oss først se på y er lik 2x. La oss se, hvorfor det er proporsjonalitet. La oss først velge noen x-verdier og se, hvilke y-verdier vi får. Hva x er lik med 1, så er y lik med 2 ganger 1, det er 2. Hvis x er lik 2, så er y lik 2 ganger 2, som er 4. Da vi doblet x fra 1 til 2, ble altså også y doblet. Det vil altså si, at i en proporsjonalitet gjelder det, at hvis vi øker x med en faktor, vil y bli økt med den samme faktoren. Det vil også si, at hvis vi minsker x ned med en gitt faktor, så vil y bli minsket med samme faktoren. La oss nå prøve å se på den andre proporsjonaliteten. . Vi bytter farge til lilla. La oss prøve å se på et nytt eksempel. Vi ser på y er lik med minus 3x. Først skal vi finne noen x- og y-verdier. Når x er lik med 1, er y lik med minus 3 ganger 1, som er minus 3. Når x er lik med 2, har vi minus 3 ganger 2, som er minus 6. Merk, at når vi øker x med faktoren 2, så økes også y med samme faktoren. For å komme fra 1 til 2 skal man gange med 2, og det skal man også for å komme fra minus 3 til minus 6. Man kan sim at vi skalerer med den samme faktoren for både x og y. La oss nå prøve å se, hva som skjer, når x er 1/3. Når x er 1/3, er y minus 3 ganger 1/3, og det er minus 1. Får å komme fra 1 til 1/3 har vi altså dividert med 3. Man skal dividere med 3. Man kan si, at vi skalerer ned med en faktor, som er 3. Når vi skalerer x i en retning, skal vi altså skalere y tilsvarende i samme retning. Det er det, en proporsjonalitet betyr. Det er ikke alltid så tydelig. Noen ganger er det vanskelig å se. La oss nå se på det her eksempelet. Vi har y er lik minus 3. Vi sparer plassen her til omvendt proporsjonalitet om litt. Vi kan skrive det, som det står her, men det kan også skrive om. Vi kunne dividert begge sider av likningen med x, og så får vi y dividert med x er lik minus 3. Det kan være, at vi, etterpå har gjort det, dividert begge sider med y, Hvis vi dividerer begge sider med y nå, vil vi få 1 over x er lik minus 3 ganger 1 over y. De her 3 uttrykkene er alle samme. Noen ganger kan man altså ikke umiddelbart se, at det er snakk om proporsjonalitet, men hvis vi gjorde det her med enhver av de her, ville vi få akkurat samme resultat. Man kan også prøve å skrive det om tilbake til den formen, vi hadde her. Det kan vi gjøre med å dividere begge sider av likningen med minus 3, så får vi minus 1 over 3y er lik x. Det er interessant, for nå er det x, som er proporsjonal med y. x er lik med en konstant ganger y. Det er faktisk sant generelt. Hvis y er proporsjonal med x, kan vi også si, at x er proporsjonal med y. Det vil ikke være samme konstant i de 2 tilfellene, det vil være den inverse konstanten, men vi vil fremdeles ha 2 proporsjonaliteter. La oss nå gå videre. La oss se på omvendt proporsjonalitet. La oss først se på omvendt proporsjonalitet generelt. De variablene behøver ikke alltid være y og x. Det kan også være a og b eller kanskje m og n. Vi tar dog utgangspunktet i y'er og x'er her. En omvendt proporsjonalitet vil ha regulering y er lik med en konstant k ganger 1 over x. I stedet for en konstant ganger x har vi altså en konstant ganger 1 over x. La oss nå se på noen eksempler. Det kunne være y er lik 1 over x. Det kunne være y er lik med 2 ganger 1 over x, som er det samme som 2 over x. Det kan også være y er lik med 1/3 ganger 1 over x, som er det samme som 1 over 3x. Det kan også være y er lik med minus 2 over x. La oss se på det her på samme måte, som vi gjorde med vanlig proporsjonalitet. La oss se på y er lik med 2 over x. Vi lager samme tabell, som vi gjorde her borte. Hvis x er 1, er y 2. Hvis x er 2, har vi 2 dividert med 2, og det gir 1. Når vi ganger x med 2, altså når vi skalerer x opp med 2, hva skjer så med y? y blir skalert ned med en faktor på 2. Vi dividerer y med 2. Bemerk forskjellen! Her skjer det, at når x økes med en faktor, økes y med samme faktor. Ved omvendt proporsjonalitet skjer det, at når x økes med en faktor, minskes y med samme faktor. Det er derfor, det heter omvendt proporsjonalitet. Vi kan prøve å si, at x er lik med en halv. Når vi minsker x med en faktor, vil vi samtidig øke y med en faktor, fordi 2 dividert med en halv er 4. Her øker vi altså y, mens x minskes. Det skjer det motsatte med de 2 variablene. De går i hver sin retning. Vi kan også prøve med negative tall. La oss gange med minus 2 her. Igjen er det ikke alltid sikkert, at det alltid står så pent skrevet som her. Hvis det kan skrives om til noe, som ligner det her, vil det dog ofte være en omvendt proporsjonalitet. Her kan vi for eksempelvis gange begge sider av likningen med x, og så får vi xy er lik 2. Det er også en omvendt proporsjonalitet, og vi vil få samme tabell som her, hvis vi prøver. Vi kan dividere begge sider av likningen med y, og så har vi x er lik 2 over y, som er det samme som 2 ganger 1 over y. Legg merke til, at y nå er omvendt proporsjonal med x. Vi kan skrive det om algebraisk, og så kan vi se, x er proporsjonal med y. Hvis y er omvendt proporsjonal med x, vil x altså også være omvendt proporsjonal med y. La oss nå prøve å dividere begge sider med 2. Så får vi y dividert med 2 er lik 1 over x. . Hvis man får oppgitt en likning med 2 variabler, og man blir spurt, om de er proporsjonale eller omvendt proporsjonale, kan man altså lage en tabell sånn som her. Hvis x og y økes med samme faktor, er det snakk om proporsjonalitet. Hvis x økes med en faktor, og y minskes med samme faktoren, er det snakk om omvendt proporsjonalitet. Man kan også prøve å bruke algebra og skrive om likningen, så man får den på en av de her formene. Den her betyr, at det er omvendt proporsjonalitet, og den her betyr, at det er proporsjonalitet.