Hovedinnhold
Gjeldende klokkeslett:0:00Total varighet:17:36

Finite geometric series word problem: mortgage

Video transkripsjon

Det jeg vil gjøre i denne videoen er å gå over regnestykket bak et boliglån. Og dette er ikke egentlig kommer til å være en finans video. Det er faktisk mye mer matematisk. Men det adresser, i hvert fall i mitt sinn, en av de mest grunnleggende spørsmål som er minst blitt sirklet i hodet mitt i lang tid. Du vet, vi tar opp disse lånene for å kjøpe hus. La oss si du tar ut en $ 200,000 boliglån. Det er sikret ved huset ditt. Du kommer til å betale den over - 30 år, eller du kan si det er 360 - måneder. Fordi hvis du normalt betaler utbetalinger hver måned, interesse normalt forbindelser på månedlig basis. Og la oss si at du betaler 6% - interesse. Dette er årlig rente, og de er vanligvis compounding på månedlig basis, slik at 6% dividert med 12. Du snakker om 0,5% per måned. Nå normalt når du får et lån som dette, ditt boliglån megler eller bankmann vil se nærmere på noen type diagram eller skriver tallene inn noen type dataprogram. Og de vil si oh OK, er betalingen går å være $ 1200 per måned. Og hvis du betaler som $ 1200 per måned over 360 måneder, ved slutten av de 360 ​​måneder du vil ha betalt av $ 200.000 pluss eventuelle renter som kunne ha påløpt. Men dette tallet er det ikke så lett å komme sammen. La oss bare vise et eksempel på hvordan den faktiske boliglån fungerer. Så på dag null, har du en $ 200000 lån. Du trenger ikke betale noen boliglån betalinger. Du kommer til å betale ditt første boliglån betaling en måned fra i dag. Så dette beløpet kommer til å bli forsterket av det 0,5%, og som et desimaltall som er en 0.005. Så i en måned, med renter, vil dette ha vokst til 200.000 ganger 1 pluss 0,005. Så du kommer til å betale $ 1.200. Bare kommer til å bli minus 1200 eller kanskje jeg burde skrive 1.2K. Men jeg er bare egentlig bare viser deg den ideen. Og så den neste måneden, er det igjen er kommer til å bli forverret igjen av den 0,5%, 0,005. Og så den neste måneden du kommer til å komme tilbake og du er kommer til å betale denne $ 1200 igjen. Minus $ 1.200. Og dette kommer til å skje 360 ​​ganger. Så du kommer til å fortsette å gjøre dette. Og du kan tenke deg hvis du faktisk prøver å løse for dette nummeret - på slutten av det du kommer til å ha denne enorme uttrykk som kommer til å ha vet du 360 parentes over her - og på slutten, er det alle kommer til å være lik 0. Fordi etter at du har betalt den endelige betalingen, er du ferdig betaling av huset. Men generelt hvordan gjorde de regne ut denne betalingen? La oss kalle det s. Er det noen matematisk måte å finne det ut? Og for å gjøre det, la oss få litt mer abstrakt. La oss si at l er lik lånebeløpet. La oss si at jeg er lik den månedlige renter. La oss si at n er lik antall måneder at vi arbeider med. Og så skal vi sette p er lik den månedlige betaling, månedlige boliglån betalingen. Noen som er interesse, noen som er prinsippet, men det er det samme beløpet du skal betale hver måned for å betale ned at lånet pluss renter. Så dette er den månedlige betalingen. Så denne samme uttrykket bare jeg skrev der oppe, hvis jeg skrev det i abstrakte termer, starter du med en lånebeløpet l. Etter en måned det forbindelser som 1 pluss i. Så du multipliserer det ganger 1 pluss i. jeg i denne Situasjonen var 0.005. Så du betaler en månedlig betaling av p, så minus s. Så det er på slutten av en måned. Nå har du noe beløp ennå til overs på lånet ditt. Det vil nå sammensatte over den neste måneden. Så du kommer til å betale en annen betaling s. Og så denne prosessen kommer til å gjenta 300 eller n ganger, fordi jeg bor abstrakt. Du kommer til å ha n parenteser. Og etter du har gjort dette n ganger, er at alle kommer til å være lik 0. Så mitt spørsmål, en som jeg i hovedsak å sette opp i denne videoen, er løse hvordan vi gjøre for p? Du vet hvis vi vet lånebeløpet, hvis vi kjenner de månedlige rente, hvis vi vet antall måneder, hvordan Har du løse for p? Det ser ikke ut som dette er virkelig en enkel algebraisk ligningen til å løse. La oss se om vi kan gjøre en liten fremgang. La oss se om vi kan omorganisere dette på en generell måte. Så la oss starte med et eksempel av n være lik 1. Hvis n er lik 1, da vår situasjon ser slik ut: du tar ut lån, compound du den for en måned, 1 pluss i, og så betale den månedlige betalingen. Nå var dette et boliglån som blir nedbetalt i en måned, så etter at en betaling du er nå ferdig med lånet deres, du har ingenting til overs. Nå hvis vi løse for p, kan du nå bytte sidene. Du får p er lik l ganger 1 pluss i. Eller hvis du deler på begge sider av en pluss i, får du p over 1 pluss jeg er lik l. Og du kan si hei du allerede løst for p hvorfor gjør dere dette? Og jeg gjør dette, fordi jeg ønsker å vise deg en mønster som vil dukke opp. La oss se hva som skjer når n er lik 2. Vel da du starter med dine lån beløp. Det forbindelser for en måned. Du gjør betalingen. Så er det noen beløp til overs. Det vil compound for en måned. Deretter kan du gjøre dine andre betaling. Nå er denne boliglån trenger bare to betalinger, så nå du er ferdig. Du har ingen lån til overs. Du har betalt alle hovedstol og renter. La oss nå løser for p. Så jeg kommer til å farge p-tallet. Jeg kommer til å gjøre dette p rosa. Så la oss legge p til begge sider og bytte sider. Så denne grønne p vil være lik for alle denne virksomhet over her. Er lik l ganger en pluss i minus som rosa s. De er den samme p, jeg bare ønsker å vise deg hva som er happening algebraically. Minus at rosa p ganger 1 pluss i. Nå hvis du deler på begge sider av en pluss i, får du p over 1 pluss jeg er lik l ganger en pluss i minus som rosa s. Nå la oss legge til at rosa p til begge sider av denne ligningen. Du får den rosa p pluss denne p pluss p over 1 pluss jeg er lik l ganger 1 pluss i. Nå deles begge sider av 1 pluss i. Du får den rosa p over 1 pluss i pluss grønne p, det samme p, ganger - det allerede blir delt på 1 pluss i, er du kommer til å dele det igjen ved en pluss i, så det kommer til å bli delt på 1 pluss i squared er lik lånet. Noe interessant er voksende. Du ønsker kanskje å se videoer på nåverdien. I denne situasjonen tar du betalingen, rabatten du det ved månedlig rente, får du låne beløpet. Her kan du ta hver enkelt betaling, rabatt du det, du dele det med 1 pluss månedlig rente til kraft av antall måneder. Så du er egentlig å ta nåverdien av betalinger og igjen, får du din lånebeløpet. Du ønsker kanskje å bekrefte dette for deg selv hvis du ønsker en litt algebra praksis. Hvis du gjør dette med n er lik 3. Jeg kommer ikke til å gjøre det bare for moro skyld tiden. Hvis du gjør n er lik 3, du kommer til å få at lånet er lik p over 1 pluss i pluss p over 1 pluss i squared pluss p over 1 pluss jeg til den tredje. Hvis du har litt tid, oppfordrer jeg deg til å bevise dette for selv bare bruker nøyaktig samme prosess som vi gjorde her. Du kommer til å se det kommer til å bli litt harry. Det kommer til å være mye av et manipulere ting, men det vil ikke ta deg for lang. Men generelt, forhåpentligvis, har jeg vist deg at vi kan skrive lånebeløpet som nåverdien av alle utbetalingene. Så vi kan si generelt lånebeløpet, hvis vi nå generalisere det til n istedenfor og n er lik et tall, kunne vi si at det er lik - Jeg skal faktisk ta p ut av ligningen, så det er lik p, 1 ganger pluss 1 over 1 pluss i pluss 1 over 1 pluss i kvadrat pluss, og du bare holde gjøre dette n ganger, pluss 1 over 1 pluss jeg til n. Nå kan du gjenkjenne dette. Dette her er en geometrisk serie. Og det finnes måter å regne ut summen av geometriske serier for vilkårlige ender. Som jeg lovet i begynnelsen av videoen dette ville være en anvendelse av en geometrisk serie. Det er lik summen av 1 over 1 pluss jeg til, vel jeg vil bruke noen andre brev her, til j fra j er lik 1. Dette er til den kraften du kan vise denne er til den første makt til j er lik n. Det er nøyaktig hva som summen er. La oss se om det finnes noen enkel måte å løse for den summen. Du ønsker ikke å gjøre dette 360 ​​ganger. Du kan, vil du få et nummer, og så du kan dele l med det nummeret, og du ville ha løst for p. Men det må jo være enklere måte å gjøre det, så la oss se hvis vi kan forenkle dette. Bare for å gjøre regnestykket enklere, la meg gjøre en definisjon. La oss si at r er lik 1 over 1 pluss i. Og la meg kalle hele denne summen s. Denne summen her er lik s. Så hvis vi sier r er lik hvert av disse vilkårene deretter s er kommer til å bli lik dette kommer til å være r til den første strømmen. Jeg skal skrive r først dette kommer til å være r squared, fordi hvis du square telleren du bare få en 1 igjen. Så dette er pluss r kvadratet pluss r til den tredje, pluss alle måten dette er r til n. Og jeg vil vise deg litt triks. Jeg har alltid glemmer formelen, så dette er en god måte å regne ut summen av en geometrisk serie. Egentlig kan dette brukes til å finne en sum av et uendelig geometriske serien hvis du vil, men vi arbeider med et begrenset en. La oss formere e ganger r. Så r ganger s er tenkt å være lik hva? Hvis du multipliserer hvert av disse vilkårene ved r, multipliserer du r til de første gangene r får du r squared. Du multipliserer r squared ganger r du får r til den tredje. Og så fortsette med det hele veien, multipliserer du r - se det er en r til n minus en her - du multipliserer det ganger r, får du r til n. Og så du multiplisere r til n ganger r, får du pluss r til n pluss en. Alt dette er rett her er alle disse vilkårene multiplisert av r, og jeg bare sette dem under samme eksponenten. Nå hva du kan gjøre er at du kan trekke fra denne grønne linje fra denne lilla linje. Så hvis vi skulle si er minus rs, hva vi får? Jeg er bare trekke denne linjen fra den linjen. Vel, du får r1 minus 0, slik at du får r til den første power minus ingenting der. Men da har du r squared minus r squared utjevne r til tredje minus r til den tredje kansellere ut. De utjevne, hele veien opp til r til n minus r til n kansellere ut, men da sitter du igjen med denne siste ordene her. Og dette er grunnen til det er en ryddig trick. Så sitter du igjen med minus r til n pluss en. Nå faktor ut en s. Du får e ganger 1 minus r - alt jeg gjorde er jeg priset ut s - er lik r til den første strømmen minus r til n pluss en. Og nå hvis du dele begge sider med 1 minus r, får du din sum. Din sum er lik r minus r til n pluss 1 over 1 minus r. Det er hva våre sum er lik, der vi definerte vi r på denne måten. Så nå kan vi omskrive hele denne gale formel. Vi kan si at vår lånebeløpet er lik vår månedlige betaling ganger denne tingen. Jeg skal skrive det i grønt. Times r minus r til n pluss en. Alt av at over 1 minus r. Nå hvis vi prøver å løse for p du multiplisere begge sider av den inverse av dette, og du får p er lik lånet ditt beløpet ganger inverse av det. Jeg gjør det i rosa, fordi det er den inverse. 1 minus r over r minus r til n pluss en. Der r er dette tingen akkurat der. Og vi er ferdig. Dette er hvordan du faktisk kan løse for din faktiske boliglån betaling. La oss faktisk bruke den. Så la oss si at lånet er lik $ 200.000. La oss si at renten er lik 6% årlig, som er 0,5% månedlig som er det samme som 0,005. Dette er månedlig rente. Og la oss si det er en 30 års lån, så n kommer til å være lik 360 måneder. La oss finne ut hva vi får. Så det første vi vil gjøre er vi ønsker å finne ut hva vår r verdien er. Så r er 1 over 1 pluss i. Så la oss ta en dividert med 1 pluss i så pluss 0,005. Det er hva våre månedlige renter er en halv prosent. Så 0.995 det er hva våre r er lik. La meg skrive det ned, 0.995. Nå er denne kalkulatoren ikke lagrer variabler, så jeg kommer bare skrive det ned her. Så r er lik 0,995. Vi bare brukte det riktig der. Jeg mister litt presisjon, men jeg tror det vil bli OK. Det viktigste er at jeg ønsker å gi deg den ideen her. Så hva er vår betaling beløpet? La oss formere våre lån beløp som er $ 200.000 ganger 1 minus r, så 1 minus 0.995 dividert med r som er 0.995 minus 0,995 til den av - nå n er 360 måneder, så det kommer til å bli 360 pluss 1 til 361 makten, noe jeg kunne definitivt ikke i hodet mitt, og da jeg lukker parentes, og min endelige svaret er omtrent $ 1.200. Egentlig hvis du gjør det med full presisjon du blir litt litt lavere enn det, men dette kommer til å være rundt $ 1.200. Så bare sånn, kunne vi regne ut vår faktiske boliglån betaling. Så p er lik $ 1.200. Så det var noen rimelig fancy matematikk å finne ut noe som folk flest takle hverdagen, men nå vet du selve regnestykket bak den. Du trenger ikke å spille med noen bord eller regneark for å slags eksperimentelt får nummeret.