Hovedinnhold
Gjeldende klokkeslett:0:00Total varighet:4:28

Summen av vinklene i en trekant er 180° - bevis

Video transkripsjon

Jeg har tegnet en vilkårlig trekant her borte. Og jeg har tegnet vinkelmålene til de indre vinklene. Målet til denne vinkelen er x. Denne er y. Denne er z. Og det jeg vil bevise, er at summen til målene til de indre vinklene til en trekant, altså x pluss y pluss z er lik 180 grader. Og jeg skal gjøre dette ved å bruke kunnskapen vi har om parallelle linjer, eller tverrgående av parallelle linjer og tilsvarende vinkler. Og for å gjøre dette, så skal jeg utvide hver av disse sidene på trekanten, som for øyeblikket er linjestykker, men som jeg skal forlenge til linjer. Om jeg på denne siden, her nede fortsetter å gå i samme retning for evig og alltid, da ender jeg plutselig opp med å en oransje linje. Og det jeg vil gjøre er å konstruere enda en linje som er parallell til denne oransje linjen som går gjennom toppunktet til denne trekanten. Jeg kan alltid gjøre dette. Jeg kan begynne fra dette punktet, og fortsette å gå i samme retning som denne linjen, og de kommer møtes. Jeg kommer hverken nærmere eller lenger unna den linjen. Så jeg kommer aldri til å krysse den linjen. De to her, er parallelle. Denne er parallell til denne. Og nå skal jeg se på de to andre sidene til trekanten, og forlenge de til linjer. Så jeg forlenger denne til en linje. Jeg skal gjøre det så pent som jeg klarer. Så jeg forlenger denne til en linje. Og du kan tydelig se at dette er en transverssal til disse to parallelle linjene. Om vi nå har en tverrgående til 2 parallelle linjer, da må vi ha noen tilsvarende vinkler. Og vi ser at denne vinkelen ble dannet når den tverrgående, krysset denne oransje linjen på bunnen. Så hva er den tilsvarende vinkelen når den tverrgående skjærer denne blå linjen her oppe. Hva er vinkelen øverst til høyre for krysset? Vinkelen øverst til høyre til krysset må også være x. Det andre som kan slå deg er at det er enda en vertikal vinkel med x, enda en vinkel som må være tilsvarende. På motsatt side av krysset, har du denne vinkelen her. De to vinklene er vertikale. Så om denne har målet x da må denne her ha målet x den også. La oss gjøre det samme med trekantens siste side som vi ikke har forlenget til en linje ennå. Så la oss gjøre det. Så om vi tar denne. Så bare fortsetter vi, slik at det blir en linje. Og nå blir denne en transversal til de to parallelle linjene slik som den lilla linjen gjorde. Og da sier vi, se på vinkel y her borte, denne vinkelen er dannet av skjæringspunktet til den transversale på den nederste parallelle linjen. Og hvilken vinkel tilsvarer den her oppe? Dette er på en måte på venstre side av skjæringspunktet. Den tilsvarer denne vinkelen her, hvor den grønne linjen, den grønne tverrgående skjærer den blå parallelle linjen. Hvilken vinkel er vertikal til denne? Det er vel denne vinkelen. Så da kommer den til å ha målet y den også. Og nå nærmer vi oss slutten på beviset, fordi vi kan se at målet-- vi har denne og denne vinkelen. Denne har målet x. Denne har målet z. De er begge tilstøtende vinkler. Om vi tar de to ytre strålene fra denne vinkelen, også ser vi på denne vinkelen her, hva er målet til til denne brede vinkelen her? Det kommer til å være x pluss z. Og denne vinkelen utfyller denne vinkelen her borte som har målet y. Så målet til denne brede vinkelen som er x pluss z, pluss målet til denne lilla vinkelen, som er y, må være lik 180 grader. Fordi de to vinklene her er utfyllende. Så målet til den brede vinkelen, x pluss z, pluss målet til den lilla vinkelen, som er utfyllende til den brede vinkelen, det må være lik 180 grader fordi de er utfyllende. Vi kan også ordne på dette om vi vil ha det i alfabetisk rekkefølge. Nå har vi bevist det. Målet til de indre vinklene til trekanten x pluss z pluss y. Vi kan skrive dette som x pluss y pluss z om mangelen på alfabetisk rekkefølge plager deg. Vi kan omskrive det som x pluss y pluss z er lik 180 grader. Og da er vi ferdig.