Garfields bevis av Pytagoras’ setning

I denne videoen ser vi på et bevis for Pythagoras 'læresetning. Så vidt vites var beviset oppdaget av James Garfield i 1876. Det er denne fyren. Garfield var faktisk ikke en profesjonell matematiker. James Garfield var faktisk USAs tjuende president. Han ble valgt til president i fire år etter i 1880, og han ble president i 1881. Han fant dette beviset da han var medlem av Representantenes hus i den amerikanske Kongressen. Abraham Lincoln var ikke den eneste amerikanske politiker eller president som var interessert i geometri. Garfield fant ut dette beviset ved å lage en rettvinklet trekant. Den blå siden her er b, og den røde siden her er a. Hypotenusen i vår rettvinklede trekant er c. Dette er en rettvinklet trekant. Garfield rotert denne trekanten for å danne enda en trekant, som er kongruent med den første. La oss gjøre det. Her er b, og den er kolineære med lengde a. Det er på samme linje som lengden en her. De overlapper ikke hverandre. Denne siden har lengde b, og denne siden har lengde a. Denne siden har lengden c. Først må vi tenke på hva denne vinkelen er. Hvor stor er denne mystiske vinkel? Kanskje vi kan se det med øynene, men la oss bevise det. Vi kaller vinkelen av den opprinnelige trekant theta. Hva er denne vinkelen? Den vinkel som er mellom side A og side C. Hvor stor er vinkelen? Theta pluss denne vinkelen skal være 90 grader fordi den andre vinkelen er 90 grader. 90 pluss 90 helhet gir 180 grader. Hvis de to vinklene sammen er 90 grader, så må denne vinkelen være 90 minus theta. Vi har gjort trekanten kongruent med den opprinnelige, så den tilsvarende vinkelen theta må også være theta. Denne vinkel er 90 minus theta. Når den her er theta, og dette er 90 minus theta, hva er denne vinkelen så? Sammen gir de 180 grader. Så vi har at theta pluss 90 minus theta pluss ukjent vinkel er lik 180th Theta minus theta går ut som 90 pluss ukjent vinkel er 180 grader. Vi trekker 90 fra begge sider, og vi får at den ukjente vinkelen er lik 90 grader. Det var bra. Det vil være nyttig om et øyeblikk. Vi er nå sikre på at denne vinkelen er 90 grader. Det neste vi må gjøre er å tegne et trapes. Siden a er parallell med side b. Denne siden går rett opp. La oss nå koble de to sidene. Det er flere måter å se på arealet av en trapes på. Vi kan se på trapes som et trapes og finne hele området, eller vi kan dele den opp og legge alle de små områdene sammen. La oss begynne med å se på det som et trapes. Hva vet vi om arealet av en trapes? Arealet av et trapes, høyden av trapes, som er et pluss b, ganger gjennomsnittet av toppen og bunnen. Arealet av et trapes er lik et pluss b ganger en halv et pluss b. Vi multiplisere høyden av snittet av toppen og bunnen, og forårsaker området. Hvordan kan vi beregne arealet ved å dele trapes i deler? Så lenge vi gjør det riktig, skal vi få samme resultat. Hvordan kan vi komme til området? Vi kan si at området er to rettvinklede trekanter. Arealet av hver av trianglene er halv ganger en ganger b. Det finnes imidlertid to trekanter. Vi må, deretter ganger arealet av den andre 2 ganger i en halv ganger b. Det er den nedre og øvre rettvinklet trekant. Hva er arealet av den store grønne trekanten her? Det er ganske grei. Den har en halv ganger c ganger c. En halv ganger c ganger c. Det er en semi-ci en annen. Nå la oss redusere det og se hva vi ender opp med. Vi kan skrive det. En halv ganger pluss b er lik de andre to og en halv ganger, det vil si en. Det er lik a ganger b pluss en halv c en annen. La oss fjerne halvparten. Multiplisere begge sider av ligningen til 2. Vi må alltid gjøre det samme på begge sider av en likning. På venstre side sitter vi igjen med et pluss bi andre. På høyre side sitter vi igjen med 2ab og deretter 2 ganger en halv c i en annen. Dette er et annet pluss c. Hva skjer hvis vi multipliserer et pluss b ganger et pluss b ut? Vi får et pluss bi andre. a pluss b i andre er lik med a i andre pluss 2ab i andre. Det er lik med 2ab pluss ci andre. Når bi har et uttrykk i en parentes og i andre, ganger man den ut ved å sette 2 ledd i andre og legge deg dobbelte produktet til. Er det noe vi kan trekke fra begge sider av ligningen? Ja. Det er 2ab på begge sider, så la oss trekke dem. Vi er nå igjen med Pythagoras 'læresetning. a i andre pluss b i andre er lik c i en annen. Super. Vi takker det tjuende USAs president, James Garfield. Pythagoras teorem har eksistert i tusenvis av år før Garfield, og likevel han kunne bidra med nye bevis.