Sammenligne lineære funksjoner tekstoppgaver: klatring

. Nick og Alyssa klatret om kapp opp en vegg. Alyssas høyde på veggen er gitt ved en likning a er lik 1/3 t pluss 5. Det lyder altså, som om de klatret på en eller eller annen måte. a er Alyssas høyde i meter etter å ha klatret t sekunder. Nick startet på samme tidspunkt som Alyssa, og han klatret også med en konstant hastighet. Hans høyde er vist i tabellen nedenfor. Det her er t i sekunder, og det her er høyden i meter. Hvem startet på det høyeste stedet? For å finne ut av hvor de startet, skal vi finne ut av, hva deres høyde var, da tiden var lik 0. Det er det, dere kappløp startet. Det er ganske enkelt med Alyssa. Når tiden er lik 0, har vi 1/3 ganger 0 pluss 5. Det er altså 5 meter. Alyssa startet altså 5 meter oppe, da tiden var lik 0. La oss nå se på Nicks høyde ved t er lik 0. Det kan vi løse på et par forskjellige måter. . Vi kan prøve å gå baklengs i den her tabellen og finne noen fler verdier. La oss prøve det. Vi vet, altså at det her er tiden, og vi kan si, at det her er n for Nicks høyde. . Vi lager en tabell her. Vi vet allerede, at ved tiden 6, altså 6 sekunder, var han 6 meter oppe på veggen. Ved tiden 8 var han 7 meter oppe på veggen. Ved tiden 10 var han 8 meter oppe på veggen. Hva skjer det her? Hver gang det går 2 sekunder, øker han høyden sin med 1 meter. 2 sekunder, og 1 meter opp. Vi kan derfor gå tilbake i tiden her. Vi kan fjerne 2 sekunder, og så er vi ved 4 sekunder. Så skal vi også fjerne 1 meter. Hvis vi fjerner 2 sekunder meter, skal vi også fjerne 1 meter mer. Det kan vi gjøre, fordi vi vet, at han beveger seg med en konstant hastighet. Hvis vi fjerner 2 sekunder mer, skal vi altså også fjerne 1 meter. Så er han ved 3 meter. Nå har vi altså funnet ut av, at når tiden er 0, er Nicks høyde på veggen 3 meter. Alyssa startet altså høyere oppe enn Nick. Det her er altså det korrekte svaret. Vi kunne dog også ha løst det her ved å lage en likning, likt som vi har en likning for Alyssa, hvor vi satt 0 inn på t's plass. For å gjøre det skal vi kunne se, at Nicks høyde er en funksjon av tiden. Det vil være en lineær funksjon. Det er det, fordi begge to beveger seg med en konstant hastighet. Vi vet, at Nick beveger seg alltid med samme hastighet. Nicks høyde som en funksjon av tiden vil være en aller annen stigning, som vil være, hvor mye han beveger seg per sekund pluss hans startposisjon. . Hvordan kan vi finne stigningen og hans startposisjon her? Stigningen er hans hastighet, det vil altså si, hvor mye høyden endrer seg per sekund. Vi kaller det for m. Vi skal finne ut av, hvor mye høyden endrer seg per sekund. Vi vet allerede, at når tiden stiger med 2, stiger høyden med 1 meter. Vi vet altså, at m er lik 1/2. Han beveger seg 1/2 meter i sekundet. Det vet vi, fordi det tar han 2 sekunder å bevege seg en hel meter. Nå har vi altså m. Vi vet nå, at n, som er Nicks høyde, er lik 1/2 pluss b. Vi skal nå finne b ved å sette et av de her punktene inn i den her likningen. Alle de her punktene må nemlig oppfylle likningen. La oss bruke punktet 6. Vi vet, at når tiden er 6, er n også 6. Vi har altså 6 er lik 1/2 ganger 6 pluss b. Det er det samme som 6 er lik 3 pluss b. Vi trekker 3 fra på begge sider, og vi får b som er lik 3. Nå har vi en likning for Nicks høyde som en funksjon av tiden. Nicks høyde som en funksjon av tiden er lik 1/2 t pluss 3. Nå har vi en likning, akkurat som vi har med Alyssa. Vi kan nå se, at når tiden er lik 0, er hans høyde 3 meter, som er lavere enn Alyssas starthøyde. .