Radius, diameter, omkrets & π

Sirkelen er nok den mest grunnleggende formen i vårt univers. Den er der når du ser på planetenes baner, når du ser på hjulet, eller når du ser på figurer i den molekylære verden. Sirkelen kommer opp igjen og igjen. Det er derfor verdt å forstå noen av sirkelens egenskaper. De første menneskene som oppdaget og studerte sirkelen spurte seg selv: Hvilke egenskaper gjelder for alle sirkler? En av de første tingene de oppdaget var at i en sirkel er alle punkter like langt fra punktet i midten av sirkelen. Alle disse punktene langs kanten er like langt fra sentrum. En en av de første tingene du kanskje må spørre deg selv er: Hva er avstanden der alle punkter er like langt fra sentrum? Der. Vi kaller det avstanden av radien av sirkelen. Det er avstanden fra sentrum til kantene. Hvis denne radiusen er 3 centimeter, så er denne radiusen også tre centimeter. Og denne radiusen er 3 centimeter. Det vil aldri forandre seg. Per definisjon er en sirkel alle punktene som er like langt fra sentrum. Den avstanden er radius. Den neste interessante spørsmålet som en kan stille er: Hvor stor er sirkelen? Hvor bred er sirkelen på det bredeste punktet? Hvis du ønsker å klippe sirkelen der den er bredest, hva er avstanden du skal klippe? Det trenger ikke å være akkurat der. Vi kunne like så godt klippet langs det bredeste her. Vi vil ikke klippe et sted som dette, fordi det ikke ville være det bredeste punktet. men det er mange steder hvor du kan klippe på det bredeste punktet. Vi har sett på radius, og kan se at det bredeste punktet på sirkelen går gjennom sentrum og fortsetter rett over. Det er altså to radier. En radius her og en radius her. Vi kaller avstanden langs bredeste punktet på sirkelen til diameter. Det er sirkelens diameter. Den har et meget enkelt forhold til radien. Diameter er lik det dobbelte av radien. Det neste interessante man kan lure på er: hvor langt er det rundt en sirkel? Hvis vi skulle måle hele veien rundt sirkelen med et målebånd, hva ville vært utfallet? Vi kaller det omkretsen av sirkelen. Vi vet nå forholdet mellom diameter og radius men hvordan henger omkrets og diameter sammen? Det kan vi finne ut. Man har funnet ut hvordan disse tingene henger sammen. For mange tusen år siden, tok folk målebåndene sine frem og gikk videre og videre med måle sirklers omkrets og deres radier. I starten var ikke målebåndene så presise.. Den målte kanskje at omkretsen av sirkelen var ca 3. Når de så målte diameteren på samme sirkel, de fant at den var omtrent 1. La oss skrive dette ned. Vi er interessert i forholdet mellom omkrets og diameter. Hvis vi har en sirkel her. Vi har her en sirkel. I ble det ikke målt så nøyaktig. Man målte, at omkretsen var tilnærmet lik 3, og diameteren av sirkelen var tilnærmet lik 1. Det er interessant. Forholdet mellom omkretsen og diameteren er nær 3. Kanskje omkretsen alltid er 3 ganger diameteren. På den tiden målte man en masse sirkler for å finne ut om det gjaldt for alle sirkler. Dette kunne f.eks vært denne, som er litt mindre. La oss si at de målte rundt sirkelen og fant ut omkretsen er ca 6 centimeter. De hadde en dårlig målebånd, så det var ikke helt nøyaktig. Så fant de ut at diameteren var ca 2 centimeter. Igjen er forholdet mellom omkrets og diameter ca 3. Det ser ut som et mønster. Kanskje er forholdet mellom omkrets og diameter det samme for alle sirkler De undersøkte derfor enda mer. Det var veldig spennende. Da de fikk bedre målebånd, målte de at diameteren var nøyaktig 1. De var sikre på at diameteren var 1, men omkretsen var faktisk nærmere 3.1. Det samme skjedde her. De la merke til at dette forholdet var nærmere 3.1. De fortsatte å måle, og de ble bedre og bedre og bedre. Den målte mer nøyaktig og kom til forholdet var: 3,14159 De tilføyde desimaler men desimalene gjentok seg aldri. Det var en merkelig fascinerende tall som alltid dukket opp i andre sammenhenger. Det tallet er så grunnleggende for vårt univers, fordi sirkelen er så grunnleggende for vårt univers. Tallet er gjentatt i alle sirkler. Forholdet av omkretsen til den diameter lik dette tallet. Tallet fikk sitt eget spesielle navn. Figuren ble kalt pi. Det er stavet "p" "i", men det er vanligvis skrevet med den greske bokstaven pi som dette. Bokstaven representerer dette tallet, som trolig er det mest fascinerende tallet i vårt univers. Det ble først oppdaget ved forholdet mellom omkrets og diameter, men som du vil lære på reisen gjennom matematikk, inngår tallet på mange forskjellige steder. Det er en av de grunnleggende ting om universet, som gjør at du tror at det må være en eller annen form for orden i universet. Før det blir for filosofisk, la oss se på hvordan vi kan bruke denne kunnskapen i vår grunnleggende matematikk? Nå vet vi at hvis vi deler omkretsen med diamteren, vi får nummeret pi. Pi er akkurat dette nummeret. Vi kunne skrive 3,14159 og bare gå videre og videre og videre, men det ville være en sløsing med plass, og det ville være vanskelig å stole på så vi skriver den greske bokstaven. Denne bokstaven. Hvordan kan vi bruke det? Vi kan multiplisere begge sider av denne med diameteren, og vi si at omkretsen er lik pi ganger diameteren. Vi kan også si omkrets er lik to ganger pi ganger radien. Det blir ofte skrevet som 2 pi r. La oss se om vi kan bruke den til å løse noen oppgaver: La oss si at vi har en sirkel som dette. Den har en radius på 3. Radiusen er 3. Det er kanskje 3 meter, la oss sette enheten m for meter. Det er omkretsen av sirkelen? Omkretsen er lik 2 ganger pi ganger radius. Det er lik 2 x 3 meter, som er lik 6 meter, ganger pi. Det er 6 pi meter. 6 pi meter. Nå kan vi multipliserer det ut. Husk pi er et tall. Pi er 3,14159 med uendelig mange desimaler. Hvis vi multipliserer 6 med pi, får vi 18 komma mange desimaler. Hvis du har kalkulatoren din, kan du finne det, men å holde det enkelt her, skriver man som regel svaret i enheter av pi. Hvis du multipliserer 6 med 3,14159, det må gi et tall mellom 18 og 19. Det er 18 komma noen desimaler. Vi har ikke kalkulator.. I stedet for å skrive desimaltall, kan vi skrive 6 pi. I virkeligheten er sannsynligvis svaret litt under 19. La oss stille et annet spørsmål. Det er diameteren av sirkelen? Hvis denne radiusen er 3, så er diameteren det dobbelte. Det vil si 3 ganger 2, eller 3 pluss 3 som er lik 6 meter. Omkretsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter, og radius er 3 meter. La oss prøve å finne en annen måte. Anta at vi har en annen sirkel. Som har en omkrets på 10 meter. Hvis du hadde hatt et målebånd og gått rundt den, ville man målt 10 meter. Det er diameteren av sirkelen? Vi vet at diameteren ganger pi er lik omkretsen, og omkretsen er 10 meter. For å løse dette, må vi dele begge sider av denne ligningen ved pi. Diameteren er lik 10 meter over pi eller 10 over pi meter. Det gir et tall. Hvis du har din kalkulator, kan du dele 10 med 3,13159 og da vil du få 3 komma noe. Det er vanskelig å regne i hodet. Resultatet er imidlertid et tall. For enkelhets skyld, skriver vi ofte svaret på denne måten. Hva er radiusen da? Radiusen er lik halvparten av diameteren. Diameteren er altså 10 pi meter. Hvis vi ønsker å finne radius, må vi multiplisere det med en halv. Vi har derfor en halv ganger 10 over pi, som er en halv ganger 10 Vi kan nå dele telleren og nevneren med 2. Vi får 5 over pi. Radius er altså 5 over pi. Det er ganske enkelt når du har gjort noen av disse. Det er viktig å huske at pi er et tall. Pi er 3,14159 og et uendelig antall desimaler. Det er faktisk skrevet mange bøker om pi. De kan være spennende å lese. Det er imidlertid viktig å huske at pi er et tall. Det er et meget spesielt tall. Men det kan være skrevet som et vanlig tall. Imidlertid er det ofte lettere å skrive det som pi. Nå kan du selv finne ut noen eksempler på dette. I neste video vil vi finne ut arealet av en sirkel.