Hovedinnhold
Gjeldende klokkeslett:0:00Total varighet:9:39

Video transkripsjon

. I denne videoen skal vi se, hvordan man kan finne avstanden mellom 2 punkter i vårt koordinatsystem. Vi vil se, at det faktisk ikke er annet enn en anvendelse av "Pytagoras" læresetning. La oss starte med et eksempel. La oss si, at vi har et punkt. Vi bruker mørk farge, så den kan sees her. La oss si, at vi har punktet 3 komma minus 4. La oss tegne det. 1,2,3. også går vi 4 ned. 1,2,3,4. Det her er 3 komma minus 4. La oss si, at vi også har punktet 6 komma 0. 1,2,3,4,5,6, og vi skal ikke bevege oss langs y-aksen. Punktet er på x-aksen. y-koordinatet er 0, så punktet er 6 komma 0. Vi vil finne avstanden mellom de 2 punktene. Hvor langt er det blå punktet fra det oransje punktet? Først tenker man kanskje, at vi ikke aner, hvordan man skal løse en oppgave som denne. Hvordan kan vi overhodet si, at vi skal anvende Pytagoras læresetning her? Det er jo ingen trekant. Hvis man ikke kan se en trekant umiddelbart, kan vi like godt tegne den. . Vi tegner en trekant her. Slik. La oss bruke mange farger, så det blir tydelig. Her er vår trekant. Man kan se med en gang, at det er en rettvinklet trekant. Det her er en rettvinklet trekant. Grunnlinjen går vannrett fra venstre mot høyre, og høyre side går loddrett nedenfra og opp. Vi har altså en rettvinklet trekant. Hvis vi kan finne ut, hvor lang grunnlinjen er, og hva høyden er, kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne den lange siden motsatt til den rette vinkelen, altså hypotenusen. Det her, altså den avstanden, er hypotenusen i den rettvinklede trekanten. La oss skrive det ned. Avstanden er lik hypotenusen i den rettvinklede trekanten. La oss tegne det litt større. Det her er hypotenusen. Vi har så siden her til høyre, som går loddrett opp og ned, og vi har vår grunnlinje her. La oss kalle avstanden for d. d står for distanse, som er det samme som avstand. Det er lengden av hypotenusen. Hvordan finner vi lengden av den loddrette siden og den vannrette siden her? La oss først se på den vannrette linjen, nemlig grunnlinjen. Hva er avstanden? Det kan vi nesten telle, når vi har det i et koordinatsystem. La oss skifte til grønn. Her er vi ved x lik 3, og her er vi ved x lik 6. Vi beveger oss mot høyre. Det her er det samme som den avstanden her. For å finne den avstanden tar vi den siste x-verdien og trekker den første fra. Man kan også gjøre det omvendt, fordi vi likevel skal ha opphøye det i annen, så det gjør ikke noe, hvis vi får negative tall. Avstanden her er altså 6 minus 3. 6 minus 3. Den her avstanden er lik 3. Nå har vi finnet lengden av grunnlinjen. Den er lik endringen i x. Den er lik den største x minus den minste x. 6 minus 3. Det er vår delta x. Vi kan nok tenke oss til, at høyden her er lik endringen i y. Her er vi ved y lik 0. Det er der vi slutter. Det er vår høyeste y-verdi. Her er vi ved y lik minus 4. Vår endring i y er altså lik 0 minus minus 4. Vi tar den største y-verdien minus den minste y-verdien. Man kan dog godt gjøre det omvendt, også får man et negativt resultat, men det gjør ikke noe, fordi vi likevel skal ha tallene i annen om litt. Svaret her er altså 4. Den her siden er 4. Her kunne vi også ha talt det. Den her siden er lik 3. Nå kan vi bruke Pytagoras' læresetning. Den her avstanden i annen. Vi skal huske i annen. Den er lik delta x eller endringen i x i andre pluss endringen i y i annen. . Det er ikke noe magi over det. Noen kaller det her for avstandsformelen. Det er ikke annet enn en anvendelse av Pytagoras' læresetning. Denne siden i andre pluss denne siden i andre er lik hypotenusen i andre, fordi det her er en rettvinklet trekant. La oss bruke de tallene, vi har funnet frem til. Avstanden i andre er altså lik delta x i andre, som er 3 i andre, pluss delta y i andre, som er 4 i andre. Det er lik 9 pluss 16, som er lik 25. Avstanden i andre eller d i andre er altså lik 25. Nå skal vi ta kvadratroten, men det skal være den positive kvadratrot, fordi en avstanden ikke kan være negativ. d er altså lik kvadratroten av 25, som er lik 5. Lengden her er altså 5. Den her avstanden, som opprinnelig var den vi skulle finne, er altså 5. Hvor langt er det her punktet fra dette punktet? Det er 5 enheter vekk. Det, som noen kaller avstandsformelen, er altså i virkeligheten Pytagoras' læresetning. La oss se litt på, hvordan noen skriver avstandsformelen, så vi alltid kan kjenne den igjen. Vi har 2 punkter, og det første punktet heter x1 komma y1. Det er et punkt. Det andre punktet heter x2 komma y2. Vi gjør det her, fordi man kan komme ut for å se avstandsformelen på andre måter. Denne måten, vi skriver avstandsformelen på nå, kan godt se veldig komplisert ut, men det er faktisk også bare en anvendelse av Pytagoras' læresetning. Vi vil se, at avstanden er lik kvadratroten av x2 minus x1 i andre pluss y2 minus y1 i andre. Slik ser avstandsformelen ut i mange matematikkbøker. . Det er greit å huske på, fordi det nemlig ikke er annet enn Pytagoras' læresetning. Det her er endringen i x. Det betyr ikke noe, hvilken x vi velger først, for hvis vi får en negativ verdi, blir den nemlig positiv, når vi kvadrer den. Det her er endringen i y. Det her betyr altså, at hvis vi kvadrer begge sidene av denne likningen, har vi avstanden i andre, også vil kvadratrottegnet forsvinne. Avstanden i andre vil være lik endringen i x i andre, som vi også kaller delta x, pluss endringen i y i andre, som vi også kaller delta y. Delta kan være litt forvirrende, men det betyr endring i. Delta betyr endring i. Det er greit å huske. La oss bruke denne formelen på noen tilfeldige punkter. La oss si, at vi har punktet 1,2,3,4,5,6. Minus 6 komma minus 4. . Vi vil finne avstanden mellom det og 1 komma 1,2,3,4,5,6,7. Avstanden mellom det og punktet 1 komma 7. Vi skal bruke samme fremgangsmåte. Vi bruker Pytagoras' læresetning. Vi skal først finne denne avstanden, som er endringen i x, også denne avstanden, som er endringen i y. Denne avstanden i andre pluss denne avstanden i andre er lik denne avstanden i andre. La oss gjøre det. Først finner vi avstanden i x. Det er likegyldig, hvilken x-verdi vi starter med, men det kan ofte være lettere hvis man tar den største x-verdien minus den minste x-verdien. Avstanden i andre er altså lik endringen i x, som er den største x-verdi, 1, minus den minste x-verdi, minus 6. 1 minus minus 6 i andre og dt er pluss endringen i y i andre. Den største y-verdien er her. Den er 7. Vi har altså 7 minus minus 4. 7 minus minus 4 i andre. De her punktene er helt tilfeldige, så det er ikke sikkert, at vi lett kan finne kvadratroten til slutt. Vi har altså denne avstanden i andre, som er 1 minus minus 6. Det gir 7. Vi kan også telle oss frem til det. 1,2,3,4,5,6,7. Det er våre tall her. Det er vår endring i x. Deretter har vi pluss 7 minus minus 4. Det gir 11. Det er avstanden her, og den kan vi også telle, hvis vi gidder. Vi går altså 11 opp. Vi tar 7 og trekker minus 4 fra det, og det gir en avstand på 11. Vi har altså pluss 11 i andre, og det er lik d i andre. La oss få lommeregneren frem. Avstanden er 7 i andre pluss 11 i andre, og det er lik 170. Avstanden er altså lik kvadratroten av 170. d i andre er nemlig lik 170. La oss ta kvadratroten av 170, og vi får cirka 13,04. Den her avstanden, som vi ville finne, er altså 13,04. Forhåpentlig har dette vært en nyttig video.