Gjeldende klokkeslett:0:00Total varighet:11:29
0 energipoeng
Studying for a test? Prepare with these 7 lessons on Kongruens.
See 7 lessons

Congruent triangles & the SSS postulate/criterion

Video transcript
La oss snakke litt om kongruens. Kongruens betyr i virkeligheten lik med, når vi snakker om figurer. Hvis vi i algebra har to ting som er lik hverandre, betyr det at vi har to mengder, som er like store. Når, vi i stedet snakker om figurer, og vi har to figurer, som har samme størrelse og utseende; sier vi, at de er kongruente. Vi har et enkelt eksempel her. Vi har en trekant her, og vi har en trekant her. Hvis du kunne rotere disse to trekantene, ville de være like hverandre. Man kan rotere figurer så mye, du vil. Men aldri endre lengden på sidene eller vinklenes gradtall. Så du kan rotere, vende og rotere figurer. Hvis du kan gjøre det og dermed få to identiske trekanter, vil de to trekantene være kongruente. La oss gi denne trekanten her et navn. Vi kaller trekanten ABC. Den her kaller vi XYZ. X, Y og Z. La oss snakke litt om de to trekantene. Hvis du ønsker å skrive at noe er kongruens, bruker man et spesielt tegn. Det er et lik-tegn med en liten buet strek over. Det skriver man sånn her. . Hvis vi vet at trekanten ABC er kongruent til trekant XYZ, Vi vet også at de tilsvarende sider er like lange. Vi vet også at deres tilsvarende vinkler har samme gradtall. Hvis vi vet at de to trekantene er kongruente, ved vi eksempelvis, at AB er lik XY. Lengden av linjestykket AB er lik lengden av linjestykket XY. Vi antar, at de to sidene er tilsvarende sider. Det kan man også se på hvordan vi har skrevet trekantene opp. A tilsvarer X, tilsvarer B til Y og C tilsvarer Z i de to trekantene. AB har derfor samme lengde som XY. Hvis du ikke har forskjellige farger, kan du vise det på denne måten. Disse to linjestykkene har altså samme lengde. De er like lange. . Vi kan også si at linjestykket AB er kongruent med linjestykke XY. Kongruens ved linjestykker innebærer at lengdene er like. Disse to tingene betyr altså det samme. Dersom et linjestykke er kongruent med et annet linjestykke, betyr det at deres lengder er lik med hverandre. . La oss gå gjennom alle de tilsvarende sidene. Vi vet også at lengden av BC er lik lengden av YZ, fordi de to trekantene er kongruente. Vi vet dette fordi det er tilsvarende sider. Vi kan lage to streker her for å markere det. Til slutt er det den tredje siste. Vi vet også at den siden, vil være av samme lengde i begge trekanter. Så vi vet at lengden av AC er lik lengden av XZ. Trekantene er kongruente sier ikke bare at sidene har samme lengde. Vi vet også at hvis vi har to kongruente trekanter, vil alle tilsvarende vinkler ha samme gradtall. Så vi vet at denne vinkelens gradtall, vil være lik den tilsvarende vinkelens gradtall. Den tilsvarende vinkelen er her. Den er mellom den oransje og den lilla siden. . . Så vi vet at gradtallet til vinkelen BAC er lik gradtallet til vinkel YXZ. Gradtallene for de to vinklene vil alle være den samme. Vi kan også skrive at vinkelen BAC er kongruent med vinkel YXZ. Det er som linjestykkene, hvor to kongruente linjestykker har samme lengde. At to vinkler er kongruente betyr, at deres gradtall er like. To vinkler med samme gradtall er altså kongruente. Vi vet også at disse to er tilsvarende vinkler. VI lager en dobbel bue for å vise, at de har samme gradtall. Gradtallet av vinkel ABC er lik med gradtallet av vinkel XYZ. Til slutt, vet vi også, at den her vinkelen har samme gradtall som den tilsvarende vinkelen. . Vi vet altså, at gradtallet for vinkel ACB er lik gradtallet for vinkel XZY. Noen av de tingene vi skal bruke en del tid på er hvordan man skal bevise kongruens. Det er flott å ha kongruente trekanter, fordi da kan du gjøre alt som vi nettopp har gjort. I begynnelsen, jobber vi veldig postulat og antakelser. Et fint ord for det er aksiomer. Postulater er også et veldig fint ord. . Det betyr virkelig noe vi anser for å være sant. Det er en form for grunnleggende forutsetning, som alle anser for å være sant. Man kan ikke nødvendigvis overbevise en grunnleggende forutsetning, men du tar det for gitt. . En postulat er nesten det samme som en grunnleggende forutsetning. Noen ganger kan det være noe vi i øyeblikket anser å være sant, og så ser vi på hva vi kan utlede fra det. Ved begynnelsen av denne geometrien selvfølgelig brukes begge ordene dog om samme ting. Postulater og forutsetningene er fine ord for noe, vi tar for gitt. Dette er ting vi antar uten å bevise dem. VI starter med en antagelse og er basert på en forutsetning. En av de mest grunnleggende og sentrale grunnleggende forutsetninger for geometri er: Hvis to trekanter har tre sider, som alle er kongruente, vil trekantene være kongruente. Vi kaller det side-side-side kongruens. Vi bevise det her. Vi tar det for gitt. Vi kan forkorte SSS. Side-side-side. La oss tegne to trekanter. De vi har her. Vi vet at de tilsvarende sider er like med hverandre. Så vi vet at denne siden er lik denne side. De har samme lengde. Alle sidene har den samme lengden. Hvis vi vet det, vi vet at disse to trekantene er kongruente. Vi har ikke gitt trekantene navn ennå, så vi kan ikke kan skrive dem opp. Dette er altså to kongruente trekanter. Så vi vet at hvis alle tilsvarende sider er like med hverandre, er trekantene kongruente. Når vi vet det, kan vi gjøre alle våre andre antagelser. Dette betyr at alle tilsvarende vinkler er også lik hverandre. Vi vet at det er kongruens med den her. De har de samme gradtall. Den er kongruent med den her, og den her er kongruent med den her. La oss nå se på hvorfor dette er en fornuftig antagelse til å begynne med. La oss si at vi har en trekant. Vi har en trekant her. Den har de her sidene. . Nå la oss se om vi kan lage en annen trekant, som ikke er lik til den her, hvis den har sider med de samme lengdene. Vi skal se, om vi kan lage en annen trekant, som selv om snur og vender den aldri vil kunne bli til den her trekanten. Vi vet altså, at den andre trekanten skal ha en side med samme lengde som den her. Den tegner vi her. Den har omtrent samme lengde. Vi vet også at det må ha en side, som er den her lengden. . Den siden tegner vi her, så det er litt mer interessant. Vi tegner siden her med samme lengde, men vinkelen er forskjellig. . Vi vet også at trekanten må ha en side som ser ut som dette. Den tegner vi her. Den har omtrent den her lengden. Dette er helt klart ikke en trekant. Hvis det skal være en trekant, skal vi forbinde de her to punktene. Det kan vi gjøre på to måter. Vi kan rotere de to strekene den her veien. Hvis vi gjør det, vi får en trekant som ser slik ut. Det er en trekant, som er rotert og vendt om i forhold til vår opprinnelige trekant. Hvis du roterer og vender den om, vil den være lik. Vårt andre alternativ for å forbinde de to punktene er å snu dem den her veien. Så vil den gule siden være her, og den lilla side vil være her. Det var ikke lilla. Den lilla siden vil være her. Hvis vi gjør det, skal vi kun dreie trekanten for å ha to like trekanter. Dette er ikke et bevis, men en grunnleggende antagelse. Dette er et fornuftig sted å starte. Hvis alle tilsvarende sider er lik med hverandre, vil to trekanter være kongruente. . Hvis to trekanter er kongruente, vi vet også at de tilsvarende vinkler vil være like.