Gjeldende klokkeslett:0:00Total varighet:13:28
0 energipoeng
Studying for a test? Prepare with these 7 lessons on Kongruens.
See 7 lessons

Triangle congruence postulates/criteria

Video transcript
Vi vet nå at hvis vi har to trekanter og alle deres tilsvarende sider er like, sier side-side-side at med tre tilsvarende sider med samme lengde vet vi at de trekantene er kongruente. I denne videoen vil jeg utforske andre egenskaper vi kan finne mellom trekantene som kan antyde at de trekantene vil være kongruente. Så side-side-side fungerer, men hva med vinkel-vinkel-vinkel? Jeg tar det her borte. Hva med vinkel-vinkel-vinkel? Det jeg sier er, la oss si jeg har en slik trekant og en slik trekant, og hvis vi vet at den vinkelen er kongruent med den vinkelen, den vinkelen er kongruent med den vink- elen, som vil si at de har samme åpning, og at denne vinkelen er kongruent med den vinkelen, blir disse kongruente trekanter? Det ser kanskje slik ut, i alle fall slik jeg tegnet det her. Men når du tenker på det, kan du ha helt like tilsvarende vinkler med samme åpning, eller kongruente, men du kan skalere trekantene opp og ned og fortsatt ha den egenskapen. For eksempel er denne trekanten her lignende, og jeg bruker bare den hverdagslige betydningen, den har samme form som disse trekantene, og den har samme vinkler, den vinkelen er kongruent med den, vinkelen her nede er kongruent med denne, og denne vinkelen er kongruent med denne her. Så alle vinklene i alle de tre trekantene er like. De tilsvarende vinklene har samme åpninger. Men denne trekanten er tydelig ikke lik. Den er ikke kongruent med de to andre. Sidene har veldig ulik lengde. Denne siden er mye kortere enn denne siden her, denne siden er mye kortere enn den, og denne siden er mye kortere enn den. Så med bare vinkel-vinkel-vinkel, kan du ikke si at trekantene har samme størrelse og form. De har samme form, men ikke samme størrelse. Så det impliserer ikke kongruens. Vinkel-vinkel-vinkel impliserer ikke kongruens. Det det impliserer, og vi har ikke nevnt dette enda, er at de er formlike trekanter. Vinkel- vinkel-vinkel impliserer formlikhet. La meg skrive det her: Det impliserer formlike trekanter. Og formlik, du skjønner hva ordet innebærer, har en veldig spesifikk betydning i geometri. Formlike ting har samme fasong, men ikke nødvendigvis samme størrelse. Så alt som er kongruent, fordi det har samme størrelse og form, er også formlikt. Men ikke alt som er formlikt er kongruent. For eksempel er denne trekanten formlik, alle disse trekantene er formlike, men de er ikke alle kongruente. Disse to er kongruente hvis de har samme sider. Jeg antok ikke det, men hvis vi vet at de har samme sider, kan vi si at de er kongruente. Men ingen av disse er kongruente med denne, siden den er mye større. Den har samme form, men ulik størrelse. Så vi kan ikke ha et VVV (vinkel-vinkel- vinkel)-postulat, eller et VVV-aksiom for å få kongruens. Hva med side-vinkel-side? La oss prøve? Side-vinkel-side (SVS). La oss starte med en trekant her, en trekant som ser slik ut. Jeg har en blå side, en rosa side, og en lilla side. Og la oss si jeg har en annen trekant med samme lengde som den blå siden. Jeg tenger det slik, den har samme lengde som den blå siden, så disse to lengdene er like. Den har en kongruent vinkel like etterpå, så denne vinkelen og den neste vinkelen i denne trekanten får samme åpning, eller de blir kongruente. Så får den neste siden samme lengden som denne. Dette blir samme lengde som den. Samme lengde. Og vi vet ikke... siden vi bare vet at to av de tilsvarende sidene har samme lengde og vinkelen mellom dem, og det er viktig, vinkelen mellom de tilsvarende sidene har også samme åpning, kan vi gjøre hva vi vil med den siste siden i denne. Den starter her borte. Vi starter i dette punktet, og vi kan rotere den for å danne hvilken trekant vi vil. Men vi se at den eneste måten å danne trekanten på er hvis vi tar siden hit og lukker dette her. Så vi kan se helt logisk at hvis vi har, hvis to trekanter har en side med samme lengde, og neste side med samme lengde, og vinkelen mellom, altså denne vinkelen - la meg gjøre det i samme farge, vinkelen mellom dem, denne vinkelen A er den vinkelen og den vinkelen, Det er vinkelen mellom dem. Denne første siden er blå, og den andre er rosa. Den står allerede i rosa. Så vi ser at hvis to tilsvarende sider har samme lengde og tilsvarende vinkel mellom dem, så må de være kongruente. Det er ingen annen plass å gjøre av denne tredje siden. Så SVS kalles igjen et postulat, et aksiom, eller om det bevises kalles det et teorem, Dette impliserer at de to trekantene er kongruente. Så vi legger dette verktøyet til i verktøykassa. Vi hadde SSS, nå har vi SVS. To sider og vinkelen mellom dem er like, for to trekanter med tilsvarende sider og vinkler, da kan vi si at de definitivt er kongruente trekanter. Hva med -- nå prøver jeg bare alle de ulike kombinasjonene her. Hva hvis jeg har vinkel-side-vinkel? La meg prøve det. Hva skjer hvis jeg har vinkel-side-vinkel? La oss gå tilbake til denne her. Eller, jeg tegner en ny for hvert av disse tilfellene. Så vinkel-side-vinkel, jeg tegner en trekant her. Så jeg har denne trekanten, så blir dette kanskje siden. Eller, la meg tegne hele trekanten først. La meg tegne en side her, og en side der, og denne vinkelen her, jeg tar den i oransje, og denne vinkelen her, jeg tar den i gul. Så hvis jeg har en trekant til som har en side med samme lengde -- jeg bruker den blå siden her. Så denne siden har samme lengde. Og de to vinklene på hver ende av den siden er like, vil trekanten da nødvendigvis bli kongruent? Vi skal prøve å resonnere, dette er ikke formelle bevis. Vi prøver bare å finne fornuftige postulater, eller antagelser vi kan ha i verktøykassa mens vi prøver å bevise andre ting. Så den rosa vinkelen her får samme åpning som i denne trekanten. Og den gule vinkelen her får samme åpning som i denne trekanten. Så uansett, jeg begrenser ikke sidene her. Denne siden kan ha hvilken lengde som helst, hvilken lengde som helst, men den må danne denne vinkelen. $$Hvilken lengde som helst, den kan gå så langt som den vil $$og vi har på ingen måte begrenset lengden på den. $$La meg markere disse, den er den samme som den. $$Så den siden kan være hva som helst, vi har ikke begrenset den. $$Og igjen, denne siden kan være hva som helst, vi har ikke begrenset den, $$men vi vet at den må danne den vinkelen. Den må danne den vinkelen. $$Vel, igjen, det er bare én trekant som kan dannes på denne måten. $$Vi kan si hele dagen at denne lengden kan være så lang eller kort vi vil, $$og denne kan være så lang eller kort som vi vil, $$men den eneste måten de faktisk kan møte hverandre og danne en trekant $$og ha disse to vinklene, er hvis de har nøyaktig samme lengde som disse, $$som disse to sidene her borte. $$Så denne siden vil måtte være lik denne siden, $$og denne må være lik den siden. Igjen, dette er ikke et bevis, det er mer resonnering, for å finne hvilke aksiomer eller antagelser eller postulater vi kan ha. Så for mitt bruk, tror jeg VSV viser oss at to trekanter, to trekanter er kongruente. Nå prøver vi en annen, vi prøver vinkel-vinkel-side. Og i geometrikurs, hvis du har en eksamen vil du kanskje raskt pugge: "OK, side-side-side impliserer kongruens, det er logisk, og side-vinkel-side impliserer kongruens", og så videre. Jeg er ikke fan av å pugge det. Det er kanskje bra for tidspress, men det er bra å gå gjennom denne logikken i blant. Hvis du tenker, "Vent, virker vinkel-vinkel-vinkel?" Vel, nei, jeg kan finne et tilfelle som bryter ned vinkel-vinkel-vinkel. Vil de virke? Bevis for deg selv, stemmer det logisk at de impliserer kongruens? Nå prøver vi vinkel-vinkel-side. La oss prøve vinkel-vinkel-side. Igjen, la oss si at vi har en trekant her borte. $$Den har en side -- denne blir litt mer interessant -- $$den har en side, det er den siden der. $$Og så har den to vinkler, så la meg tegne de andre sidene på denne trekanten. $$Jeg tegner en i lilla og så en i grønn. $$Den har to vinkler, og så siden. $$Du har denne vinkelen, og så den vinkelen. $$Jeg måtte ikke skrive dobbel, siden det er den første vinkelen min. $$Så den vinkelen, som vi kaller den første A, $$og denne vinkelen, som er andre A. $$Så hvis jeg vet at det er en til, $$en til trekant som har en side med samme lengde. $$La meg tegne det slik, den har en side med samme lengde. $$Den har en vinkel på den siden med samme åpning. $$Så den har åpning slik. $$Og denne, denne siden her kan ha hvilken lengde som helst. $$Vi begrenser ikke lengden på den siden, $$men vinkelen på andre enden av den siden kommer til å være lik den grønne vinkelen. $$For eksempel kan det være slik, og så kan den grønne siden gå slik. $$Det kunne vært slik, med den grønne siden slik. $$Og det eneste vi antar, $$det eneste vi antar er at denne er like lang som denne $$og at den vinkelen har samme åpning som denne vinkelen, $$og at denne vinkelen har samme åpning som den vinkelen. $$Denne lilla linjen kan ha hvilken lengde som helst, $$og den grønne linjen kan ha hvilken lengde som helst, vi begrenset ikke det. $$Men hvordan... kan vi danne en trekant som ikke er kongruent med denne? $$For den grønne linjen vil måtte berøre denne, $$og den eneste måten den vil berøre denne er hvis den begynner, $$hvis den begynner akkurat her, $$siden vi begrenser denne vinkelen. $$Så det ser ut som vinkel-vinkel-side faktisk impliserer kongruens. Så det impliserer kongruens. La oss ta bare en til, bare for å prøve alle de ulike situasjonene. Hva om vi har, og jeg går litt tom for eiendom her på bunnen. Hva om vi prøvde side-side-vinkel? $$Så igjen, tegn en trekant. Den har en side der, en annen side her, $$og... jeg trenger ikke de merkene helt enda. $$Så en side, en side til, og så en side til. $$Og hva skjer hvis vi har en annen trekant $$som har to av sidene like og så vinkelen etterpå? $$For eksempel, den har den siden slik, $$og så har den en side til, men vi begrenser ikke vinkelen. $$Vi begrenser ikke denne vinkelen her, $$men vi begrenser lengden på den siden. $$La meg fargekode det. Først den blå siden, $$så den lilla siden der. $$Så det blir samme lengde som denne her, $$men la meg bruke en annen vinkel, for å se om jeg kan motbevise det. $$La oss si det ser slik ut. Eller faktisk, la meg... $$La meg gjøre det enda mer interessant. La meg prøve å... $$La meg prøve å gjøre det slik. $$Så det er en veldig annerledes vinkel, men nå må den ha samme vinkel her ute. $$Den må ha samme vinkel her ute, så det må være cirka den vinkelen. $$Så det ser ut som vi kan tegne en trekant som ikke er kongruent, $$som har to sider med samme lengde og så en annerledes vinkel. $$For eksempel er dette omtrent det. Jeg gjorde denne vinkelen mindre enn den. $$Disse to sidene er like. Denne vinkelen er lik nå, men resultatet av det $$er at denne grønne siden blir kortere på denne trekanten her. $$Så du har ikke nødvendigvis kongruente trekanter med side-side-vinkel. $$Så dette gir ikke nødvendigvis kongruens. $$Eller formlikhet. Det gir verken kongruens eller formlikhet.