Introduksjon til formlike trekanter

Når vi sammenligner trekant ABC med XYZ, er det tydelig, at de ikke er kongruent. De to trekantenes sidelengder er meget forskjellige. Likevel er det noe interessant med de to trekantene. Alle vinklene er like. Vinkel BAC her er lik som vinkel XYZ. Vinkel BCA og vinkel YZX er kongruent, og vinkel ABC og vinkel XYZ er kongruent. Alle deres sammenfallende vinkler er altså like. Vi kan også se, at sidene på den ene trekanten er en forstørrelse av sidene på den andre. Når vi går fra linje XZ til AC på den store trekanten, skal vi gange XZ med 3. Ganger vi lengden på XY med, får vi lengden på AB. XY og AB er selvfølgelig to like sider. For å komme fra XY til AB ganger vi altså XY med 3. For å komme fra lengden YZ til lengden BC skal vi også gange med 3. Vi ganger altså også med 3 her. Trekant ABC er altså en forstørret utgave av trekant XYZ. Hvis sidelengdene hadde vært de samme i de to trekantene, hadde de vært identiske. Den eneste forskjellen på de er, at den ene er større enn den andre. Det her er en miniatyrutgave av trekant ABC. Hvis man ganger alle sidene med 3 i trekant XYZ, får man trekant ABC. Hvis vi gjorde det, kunne vi kalt de kongruent. Men som de er nå, er de ikke kongruent. Vi kalle de i stedet likebente. Vi kan altså skrive, at trekant ABC og trekant XYZ er to likedannende trekanter. Vi skal være sikre på, at vi skriver navnene riktig opp, så de hosliggende sidene passer sammen. Trekant ABC og trekant XYZ er likedannede. ABC og XYZ. Når vi tenker på det vi akkurat har sett, er det faktisk 3 ting i det her. Alle 3 ting er måter, man kan bruke til å se, om trekanter er likedannet. En måte å tenke på det er, at den ene trekanten er en forstørret utgave av den andre. Altså kan man si, at trekanten enten skal være en forstørret eller forminsket utgave av en annen. . Når snakker om kongruens, skal trekanter være helt identiske. Man rotere, vende og dreie trekantene, men selv om man gjør alle de tingene, vil trekantene fortsatt være identiske. Med likedannende kan man også rotere, vende, dreie og man kan også forstørre og forminske, hvis to trekanter er likedannende. Hvis vi for eksempel sier, at noe er kongruent. La oss for eksempel si, at vi vet, at trekant CDE og FGH er kongruent. Vi vet, at CDE og FGH er kongruent. I det tilfellet vet vi også med sikkerhet, at de er likedannet. Når de to trekantene er kongruent, er de forstørret med faktor 1, også vet vi altså, at trekant CDE og trekant FGH er likedannet. Vi kan dog ikke si det samme i det omvendte tilfellet. Når vi vet, at trekant ABC og XYZ er likedannet, kan vi ikke nødvendigvis si, at de også er kongruent. I det eksempelet vi har tegnet her, er de helt klart ikke kongruent. Det er altså en måte å tenke på. Den andre måten å tenke på likedannet er, at alle tilhørende vinkler skal være like store. Hvis to trekanter er likedannet, så vil alle de tilhørende vinklene være kongruent. Det er viktig å huske, for to trekanter vil ikke være likedannet, hvis de tilhørende vinklene ikke er like store. Hvis for eksempel kun en av vinklene i de to trekantene er like, vil det ikke være snakk om en likedannet trekant. Det er en viktig huskeregel å ha i bakhodet. . Hvis vi sier, at trekant ABC og trekant XYZ er likedannet, er det det samme som å si, at vinkel ABC og vinkel XYZ er kongruent. Det vil altså si, at vinkel ABC og vinkel XYZ er like store. . Utover det vil BAC og YXA være kongruent. Vinkel BAC og vinkel YXZ vil være kongruent. Til slutt vil vinkel ACB og vinkel XZY være kongruent. Vinkel ACB og vinkel XZY vil altså være like store. XZY. Vinkel XZY. Hvis vi har to trekanter, og alle de tilhørende vinklene er like, så kan vi si, at trekanten er likedannet. Omvendt kan vi si, at hvis vi får vite, at to trekanter er likedannet, så vet vi ut fra den opplysningen, at de tilhørende vinklene er kongruent. Den siste måten å se det på, er at alle sidene bare er forstørrede eller forminsket versjoner av hverandre. Sidene er altså enten forstørret eller forminsket med den sammen faktoren. Den faktoren kaller man skaleringsfaktor. I vårt eksempel er skaleringsfaktoren 3. Skaleringsfaktoren er ikke alltid 3, men den skal alltid være det samme for alle sidene. Hvis den her siden er forstørret med faktor 3, og den her siden kun var forstørret med faktor 2, så ville trekantene ikke være likedannet. Hvis skaleringsfaktoren for alle sidene var 7 i stedet for 3, ville de to trekantene fortsatt vært likedannet. Så lengde man enten forstørrer eller forminsker alle sidene med den samme faktoren, vil trekanten være likedannet. Nå ruller vi ned på siden. La oss tegne en skisse av to trekanter igjen, så vi kan kikke på de. Nå snakker vi altså om likedannethet generelt og ikke noe spesielt eksempel. Vi kan si, at vi har trekant ABC. Trekanten her er trekant XYZ. Vi trenger de opp, så vi kan referere til de, når vi skriver her nede. Hvis vi sier, at de to trekantene over er likedannet, betyr det, at de tilhørende sidene er forstørrede utgaver av hverandre. Hvis vi starter med linjestykke AB, kan vi si, at AB er lik en eller annen skaleringsfaktor. , Skalarfaktoren kan godt være mindre enn 1. En eller annen skalarfaktor skal ganges med XY for å få lengden av AB. Vi vet, at AB og XY tilhører hverandre, fordi vi skrev trekantene opp som vi gjorde. AB er altså en eller annen skalarfaktor gnager XY. For å finne lengden av BC vet vi, at vi skal gange med den samme skalarfaktoren, som vi brukte før. BC er altså lik med den samme skaleringsfaktoren gange lengden av YZ. BC er lik YZ ganger skaleringsfaktoren. Til slutt kan vi finne lenden av AC med samme metode som før. Lengden av AC er lik med den samme skaleringsfaktoren ganger XZ. Det er XZ og det her kunne være skaleringsfaktoren. Hvis vi sier at AB er lenger enn XY, og at trekant ABC dermed er større enn trekant XYZ, så vil skaleringsfaktoren, K, være større enn 1. Hvis de to trekantene er like store, vil de være kongruent. Også vil skaleringsfaktoren være 1. Hvis trekant XYZ er større enn trekant ABC, vil skaleringsfaktoren være mindre enn 1. . Alle de tilhørende sidene er altså forstørrende utgaver av hverandre. Vet det første utsagnet her kan vi dividere XY på begge sider, også får vi, at AB over XY er lik skaleringsfaktoren, K. Ved det andre utsagnet kan vi dividere med YZ på begge sider. Det gjør vi med samme farge. Vi dividerer med YZ på begge sider og får, at BC dividert med YZ er lik skaleringsfaktor, K. . I eksempelet vi hadde før var skaleringsfaktoren 3, men nå skakker vi om skaleringsfaktoren som et mer generelt begrep. Skaleringsfaktoren skal alltid være den samme for alle sidene. i det siste utsagnet kan vi dividere med XZ på begge sider. Vi dividerer altså med lengden av siden XZ på begge sider av likhetstegnet, også får vi, at AC over XZ er lik skaleringsfaktoren, K. . En annen måte å se det på, er at forholdet mellom tilhørende sider skal gi den samme konstanten. Forholdet mellom AB og XY. AB og XY. Forholdet mellom BC og YZ, BC og YZ. Forholdet mellom AC og XZ, AC og XZ. Forholdet mellom alle de tilhørende sidene skal gi den samme konstanten. Man kan skrive det om til AB over XY er lik med BC over YZ, som er lik AC over XZ, som er lik vår skaleringsfaktor. Det er lik skaleringsfaktoren, K. Nå kan vi oppsummere litt. Vi kan tegne en pil her. Når man har to likedannede trekanter, betyr det at de er forstørrede eller forminskede utgaver. Man kan rotere, vende og dreie trekantene så mye man vil, og man kan forstørre eller forminske alle sidene. Det betyr, at de tilhørende vinklene er kongruent, og det betyr også, at forholdet mellom de tilhørende sidene vil være det samme for alle sidene. Forholdet mellom de tilhørende sidene er konstant.