Bestemme formlike trekanter

I denne videoen vil vi finne ut av, om noen av de her trekantene er likedannet. Vi skal bevise, at de er likedannet ved å bruke noen av de reglene, vi har laget for likedannede trekanter. Her har vi trekant BDC, og den er inni trekant AEC. De har begge den vinkelen her. Det gir oss altså en av vinklene. Vi har bruk for to vinkler for å vise, at de er likedannet. Vi vet, at de her to linjene er parallelle, og når to linjer er parallelle, vet vi, at de tilhørende vinklene vil være kongruent. Denne vinkelen vil altså være tilhørende vinkelen her. Vi er ferdig. Vi har en vinkel i trekant AEC, som er kongruent til en vinkel i trekant BDC. Vi har også den vinkelen her, som er kongruent til seg selv. Den vinkelen er i begge trekanter, så begge har altså to tilhørende vinkler, som er kongruent, og derfor må trekantene være likedannet. La oss skrive det ned. Trekant ACE. Vi skal ha bokstavene i riktig rekkefølge. Den blå vinkelen her er vinkel B. Fra b går vi til den store vinkelen C. Til slutt går vi til den ukjente vinkelen D. BCD. Det var den første oppgaven. La oss lage en oppgave her. Den minner litt om den andre, men det er ikke samme oppgave, for YZ er slett ikke parallell med ST. Vi kan altså ikke bruke regelen om tilhørende vinkler. YZ er nemlig ikke parallelt med noe i trekanten. Vi kan altså ikke bare kikke på trekanten og si, hvorfor den er likedannet. Vi skal i stedet se på, hvilken informasjon vi får i trekanten. Hvis de her ikke var parallelle, kunne vi ikke ha løst oppgaven, som vi gjorde. Vi har den her vinkelen, som både er i den indre og ytre trekanten. Vinkelen ved vinkelspiss X er altså i begge trekanter. Så har vi fått lengden på noen av sidene. Kanskje vi kan prøve side-vinkel-side regelen for likedannede trekanter. Vi skal altså ha fatt i forholdet mellom sidene på begge sider av trekanten. Hvis vi kan vise, at det er det samme forholdet mellom sidene i den lille trekanten og den store, så kan vi vise, at de er likedannet. Vi skal kikke på begge sider av vinkelen her. . La oss kikke på den korte siden ved den vinkelen her. For den lille trekanten er den korte siden 2, og la oss kikke på den korte siden for den store trekanten. På den store trekanten vil den korte siden være på den høyre side. Den siden hete XT. Nå vil vi sammenligne forholdet mellom sidene. Vi vil altså se, om forholdet mellom XY og XT er lik forholdet mellom den lange av siden i den lille trekanten og den lange siden i den store. Den lange siden i den lille er altså her. Er forholdet mellom den her siden og den lange siden i den store trekanten lik XZ over den lange siden i den store trekanten, når man kikke på den vinkelen her. . Det må altså bli XZ over XS. Det er kanskje litt forvirrende, fordi trekantene ikke ligner hverandre, slik de ligger nå. Vi tenker på den korte siden på begge sider av den her vinkelen, og så på den lange siden på begge sider av den her vinkelen. De her er altså de korte sidene på den lille trekanten og på den store trekanten, og de her er de lange sidene på den lille og på den store trekanten. Vi kan se, at XY er lik 2. XT er 3 pluss 1, som er 4, XZ er 3 og XS er 6. Vi har altså forholdet 2 over 4, som er det samme som 3 over 6. Forholdet mellom de korte sidene er altså 2 over 4, som er en halv. Og forholdet mellom de lange sidene er 3 over 6, som også er en halv. Forholdet er altså det samme. Vi vet fra side-vinkel-side-regelen, at de to trekantene derfor er kongruente. Vi skal være forsiktige med, hvordan vi skriver trekantene opp, for vi skal ha de tilhørende sidene til å passe sammen. Vi går litt tom for plass her, så vi skriver her opp i stedet. Vi vet, at de to trekantene er likedannet, og vi kan starte med å skrive trekant XYZ opp. I den andre trekanten starter vi med vinkel X, også gikk vi til den korte siden først. Derfor starter vi ved X og går til den korte siden av den store trekanten. Den kommer derfor til å hete XTS. Trekant XYZ og trekant XTS er derfor likedannet. La oss nå kikke på trekanten her. I den store trekanten har vi en rett vinkel her. Vi vet faktisk ikke noe om vinklene i de små trekantene. Vi vet ingen ting om vinklene. . Det her ser ut til å være en rett vinkel, men det kan vi ikke uten videre anta. Hvis vi kikke på den lille trekanten her, kan vi se, at den deler en side med den store trekanten. Det er dog ikke nok til å kunne gjøre noe. Trekanten her deler også en side med den store trekanten, men vi kan fortsatt ikke gjøre noe. Vi kan faktisk ikke komme med noe utsagn om likedannede trekant i denne oppgaven. De her trekantene er altså ikke likedannet. Hvis vi hadde mer informasjon, ville vi kunne gjort noe. Trekantene deler noen av vinklene. Den store og den lille trekanten har for eksempel begge to den her vinkelen. Vi kunne altså bevise, at de var likedannet. Hvis vi visste, om vinkelen her var rette. Selv om vinklene ser rette ut, kan vi ikke være helt sikker. Nå kan vi altså ikke gjøre noe for å bevise, at de er likedannet. La oss i stedet prøve med de to trekantene her til venstre. De her er de første, som er blitt skilt. Vi kjenner lengdene av alle 3 sidene på begge trekantene, så la oss kikke på forholdet mellom sidene. Forholdet mellom de tilhørende sidene skal være det samme. La oss starte med den korte siden. Den her korte siden er 3, og den korteste side her er 9 ganger kvadratrot 3. Vi skal altså finne ut, om forholdet mellom 3 og 9 ganger kvadratroten er det samme som forholdet mellom den nest lengste siden her, 3 ganger kvadratrot 3 og den nest lengste side her, som er 27. Vi mangler fortsatt forholdet mellom de to lengste sidene. Det skal altså være likt med forholdet mellom de to lengste sidene. Den lengste siden her er 6, og den lengste siden her er 18 ganger kvadratrot 3. La oss se hva det gir oss. vi skriver det i en nøytral farge. Det her blir 1 over 3 ganger kvadratrot 3. Det her blir 1 ganger kvadratrot 3 over 9, og det er ser ut til å være forskjellig fra 1 over 3 ganger kvadratrot 3. Vi skal være forsiktig her. Nå kommer vi til brøken her til høyre. Hvis vi dividerer med 6 i både telleren og nevneren, blir det her 1, og det her bli 3 ganger kvadratrot 3. Vi får 1 over 3 kvadratrot 3, som skal være lik kvadratrot 3 over 9, som skal være lik med 1 over 3 ganger kvadratrot 3. Tallene ser umiddelbart ut til å være forskjellige, men vi kan faktisk omskrive den her nevneren til en brøk. Vi kan vise, at hvis man ganger 1 over 3 gange kvadratrot 3 med kvadratrot 3 over kvadratrot 3, så får vi telleren kvadratrot 3 over kvadratrot 3 ganger kvadratrot 3 er 3, ganger 3 er 9. De tre brøkene er derfor de samme. Det her er 2 over 3 ganger kvadratrot 3, hvilket er det samme som kvadratrot 3 over 9. Det er det samme som 2 over 3 ganger kvadratrot 3. De 2 trekantene er derfor likedannet. Vi skal være sikre på, at vi skriver bokstavene i riktig rekkefølge. Vi starter med E, som er mellom den blå og den lilla side. Mellom den blå og den lilla side her har vi H. Nå kikker vi på trekanten til venstre igjen, og der har vi E allerede. Vi går fra E langs den blå side ned til F. Nå går vi langs den blå side her. Unnskyld, vi gjør det igjen. Vi skriver det bare på den her måten. Vi har trekant EFG, som vi vet er likedannet. E er mellom den blå og den lilla siden. Mellom den blå og lilla side har vi H her. Nå går vi langs den blå siden til F. På trekanten til høyre går vi langs den blå siden til I. Til slutt går vi langs den oransje siden til G, og på trekanten til høyre langs den oransje siden til J. Trekant EFG og trekant HIJ er altså likedannet. Det har vi bevist med side-side-side-regelen. Sidene er ikke kongruent, men forholdet mellom sidene er det samme, og derfor er de likedannet. La oss kikke på de siste to trekantene her til høyre. La oss se hva vi har å gjøre med. Vi har en vinkel, som er kongruent til en annen vinkel her. Vi har også lengden av to sider på begge trekanter, så det er opplagt å bruke side-vinkel-side-regelen, fordi vi har en side, en vinkel og en side her. Selv forholdet mellom sidelengdene ser enkelt ut. 4 ganger 2 er 8 og 5 ganger 2 er 10. Den er oppgaven er dog litt vrien, fordi det ikke er det samme tilhørende sidene. Hvis vi kunne brukt side-vinkel-side-regelen, skal sidene være tilhørende. De kjente sidene skal altså være på begge sider av vinkelen. I det her tilfellet er sidelengdene ikke på begge sider av vinkelen. Her er 4 nemlig på den ene siden, men 5 er ikke på den andre siden av vinkelen. Hvis 5-tallet var her, ville vi kunne bevise, at de to trekantene var likedannet, men fordi 5-tallet ikke er på den andre siden av vinkelen, kan vi ikke si, at de to trekantene er likedannet. Vi kan ikke bruke side-vinkel-side-regelen, og det er faktisk ingen ting å gjøre for å vise, at de er likedannet. De to siste trekantene er altså ikke likedannet.