Egenskapen til eksponenten med kvotienter

La oss gjøre noen potenseksempler som involverer divisjon. La oss si jeg spurte deg hva 5⁶ delt på 5² er. Vel, vi kan gå til definisjonen av hva en potens representerer, og si at, vel 5 i sjette, det er 5 ganger 5 ganger 5 ganger 5 ganger 5, en 5-er til. Ganger 5. 5 ganger seg selv, seks ganger. Og 5 i andre, det er bare 5 ganger seg selv to ganger. Så det blir 5 ganger 5. Vi vet hvordan vi kan forenkle en brøk, eller et rasjonelt uttrykk, som dette. Vi kan dele telleren og nevneren på én 5-er. Så disse kan strykes. Og så kan vi gjøre det med enda en 5-er, og stryke denne 5-eren, og denne. Og hva sitter vi igjen med? 5 ganger 5 ganger 5 ganger 5 over-- Vel du kan si over 1. Eller, du kan si at dette er 5 opphøyd i 4. Legg merke til hva som skjer. Vi begynner med seks i telleren Seks 5-ere ganget med seg selv i telleren, og så trakk vi fra-- Vi kunne stryke ut de to i telleren. Så dette var faktisk lik 5 opphøyd i 6 minus 2. Så vi trakk eksponenten til nevneren fra eksponenten til telleren. Og la oss huske hvordan dette forholder seg til multiplikasjon. Om jeg har 5-- La meg gjøre det i en annen farge. 5 i sjette, ganger 5 i andre. I forrige video så vi at dette er lik 5 opphøyd i 6 pluss-- Jeg prøver å fargekode det for deg. Opphøyd i 6 pluss 2. Nå ser vi en ny egenskap. Men i den neste videoen skal vi se at det er ikke egentlig andre egenskaper. Det er på en måte samme side av samme mynt, når vi lærer om negative potenser. Men i denne videoen så vi akkurat at 5⁶ delt på 5²-- I en annen farge. 5². Det blir lik 5 i-- Det er tidkrevende å fargekode det. Opphøyd i 6 minus 2. Eller 5⁴. Her blir det 5⁸. Så når du ganger potenser med likt grunntall, legger du sammen eksponentene. Når du deler på samme grunntall, trekker du eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren. La oss gjøre en noen flere eksempler. Hva er 6⁷ delt på 6³? Vel, igjen kan vi bruke denne egenskapen. Det vil bli 6 opphøyd i 7 minus 3, som er lik 6 opphøyd i 4. Og du kan gange det ut, som vi gjorde i den første oppgaven, og sjekke at det faktisk blir 6⁴. La oss prøve noe interessant. Dette blir en god hjelp til neste video. La oss si at vi har 3⁴ delt på 3¹⁰. Hvis vi bare følger grunnreglene, blir dette 3 ganger 3 ganger 3 ganger 3, alt det delt på 3 ganger 3-- Vi får ti av disse. 3 ganger 3 ganger 3 ganger 3 ganger 3 ganger 3. Hvor mange er det? En, to, tre, fire, fem, seks, sju, åtte, ni, ti. Om vi gjør som i forrige video: denne 3-eren går opp i den 3-eren. De 3-erene går opp i hverandre. Og de. Og de. Og vi sitter igjen med 1 over-- En, to, tre, fire, fem, seks 3-ere. Så, 1 over 3 i sjette. Vi har 1 delt på alle disse 3-erene her. Men den egenskapen jeg akkurat viste deg, ville forklart deg at dette også er lik 3 opphøyd i 4 minus 10. Hva er 4 minus 10? Et negativt tall. Dette er 3⁻⁶. Så ved å bruke den egenskapen vi akkurat så, får du 3⁻⁶. Ved å gange det ut får du 1 over 3⁶. Og det morsomme ved det er at disse er akkurat like mye. Så nå lærer du litt om hva det vil si å ta en negativ potens. 3⁻⁶ er lik 1/3⁶. Og jeg skal gjøre mange flere slike eksempler i den neste videoen. Men, om du opphøyer noe i et negativt tall-- Så, a opphøyd i -b. Det er en regel vi slår fast nå. Og tidligere i videoen så vi at om jeg har a opphøyd i b delt på a opphøyd i c, er det lik a opphøyd i b minus c. Det er den andre regelen vi har brukt. Ved å bruke det vi akkurat har lært, og det vi lærte i forrige video, la oss gjøre noen mer kompliserte oppgaver. Noen mer kompliserte oppgaver. La oss si at jeg har a³b⁴, delt på a²b, og alt det opphøyd i 3. Vi kan bruke regelen vi akkurat lærte, for å forenkle innsiden av parentesen. Dette blir lik a³ delt på a². Det er a opphøyd i 3 minus 2. Så dette kan vi skrive som en a. Du kan forestille deg at dette er a ganger a ganger a, delt på a ganger a. Så du sitter igjen med én a. Og så, b⁴ delt på b. Vel, det blir bare b³. Dette er b opphøyd i 1. 4 minus 1 er 3. Og så alt inne i parentesen opphøyd i 3. Jeg vil ikke glemme denne tredje-potensen. Den tredje-potensen er denne. La meg fargekode det. Den tredje-potensen er den der. Og denne oransje a-en er den a-en der. Jeg tror vi forstår hva som er hva. Og nå kan vi bruke regelen som sier at når du multipliserer noe og opphøyer det i 3, er det det samme som å ta hver av disse-- Dette er lik a³, ganger b³ i tredje. Og så blir dette lik, a³, det er a³-en der. Og så ganger b opphøyd i 3 ganger 3. Ganger b⁹. Og nå har vi forenklet det så mye som det går. La oss gjøre en til. Jeg tror de er gode å øve seg på, og veldig verdifull kunnskap senere. La oss si at jeg har 25xy⁶, delt på 20y⁵x². Så vi kan omorganisere telleren og nevneren. Vi kan skrive om dette til 25/20, ganger x/x²-- Vi kunne ha gjort nevneren til 20x²y⁵, rekkefølgen har ikke noe å si. Ganger y⁶/y⁵. La oss bruke potensreglene vi akkurat lærte. Og faktisk, forenkling av brøker. 25 over 20, hvis du deler begge på 5 får du-- Dette er lik 5/4. x delt på x². Vel det er to måter å se det på. Du kan se det som x⁻¹. Du har en førstepotens her, 1 minus 2 er -1. Så dette her er lik x⁻¹, eller det kan bli lik 1/x. Disse er tilsvarende. Så la oss si at dette er lik 1/x. Akkurat sånn. Og det vil det bli, x delt på x ganger x. Et sett av de x-ene vil oppheve hverandre, og du sitter igjen med 1 delt på x. Og så til slutt, y⁶/y⁵. Det der er y opphøyd i 6 minus 5. Og det er y i første, eller bare y. Så, ganger y. Hvis du vil skrive det som ett kombinert rasjonalt uttrykk har du 5 ganger 1 ganger y. Som blir 5y. Alt det over 4 ganger x. Dette er y/1, så det blir 4 ganger x ganger 1. Alt det over 4x. Og vi har forenklet det med suksess.