Introduksjon til standardform

Jeg tror ikke det er noen hemmelighet at når man holder på med vitenskap må man forholde seg til mange tall. Biologi, kjemi, fysikk, inkluderer tall. Og i mange tilfeller er tallene veldig store. Veldig store tall. Veldig store tall. Eller de er veldig små. Veldig små tall. Du kan forestille deg noen store tall. Hvis jeg spurte deg hvor mange atomer det er i en menneskekropp? Hvor mange celler er det i kroppen? Eller jordens masse i kilo? Det er veldig store tall. Hvis jeg spurte hva massen til et elektron er, er det et veldig lite tall. Dette møter du på overalt i vitenskapen. Og bare som et eksempel, la meg vise deg et av de vanligste tallene du vil se, spesielt i kjemi. Det kalles Avogadros tall. Avogadros tall. Og hvis jeg skriver det på vanlig måte, vil det skrives som-- I en ny farge. Det blir 6022, og så tjue nuller til. En, to, tre, fire, fem, seks, sju, åtte, ni, ti, elleve, tolv, tretten, fjorten, femten, seksten, sytten, atten, nitten, tjue. Og selv om jeg slenger inn noen punktum her. vil det ikke gjøre de noe mer leselig. La meg skrive noen kommaer. Det er fortsatt et enormt tall-- Om jeg måtte skrive dette på papir. Om jeg skulle publisere noe om å bruke avogadros tall, ville det tatt meg en evighet å skrive dette. Og det er vanskelig å si om jeg glemte en 0, eller om jeg skrev for mange nuller. Så det er et problem her. Er det en bedre måte å skrive det på? Finnes det en bedre måte å skrive dette på, enn å skrive det helt ut som dette? Å skrive 6-tallet fulgt av tjuetre siffer. Eller, 6022, fulgt av de tjue nullene der. Og for å svare på det-- Og hvis du lurer, Avogadros tall-- Hvis du har 12 gram karbon, 12 gram karbon-12, er dette så mange atomer det inneholder. Og, 12 gram er omtrent en 50-del av et pund. Så det gir deg en idé av hvor mange atomer det finnes. Dette er et enormt tall. Men, du skal ikke lære kjemi, poenget her er å lære en enklere måte å skrive dette på. Og den enklere måten å skrive det på, kaller vi vitenskapelig notasjon (normalform). Vitenskapelig notasjon (Normalform). Og tro meg på det selv om det kan virke litt unaturlig. Men det finnes virkelig en enklere måte å skrive ting som ting som det. Før jeg viser det hvordan å gjøre det, la meg vise deg den underliggende teorien bak normalform. Hva er 10⁰? Det vet vi er 1. Hva er 10¹? Det er lik 10. Hva er 10²? Det er 10*10, det er 100. Hva er 10³? 10³ er 10 ganger 10 ganger 10, som er lik 1000. Jeg tror du ser mønsteret. 10⁰ har ingen nuller. Ingen nuller. 10¹ har én null. 10 i tann-- 10 i andre 10² har to nuller. Og 10³ har tre nuller. Jeg vil ikke slå en død hest her, men jeg tror du forstår det Tre nuller. Om jeg tok 10¹⁰⁰, 10¹⁰⁰, hvordan ville det sett ut? Jeg føler ikke for å skrive det ut her, men det ville blitt 1, fulgt av-- Du gjettet det, hundre nuller. Så det ville blitt en haug med nuller. Hvis vi skulle telle alle nullene, ville vi få ett hundre nuller. Og dette kan faktisk være interessant, litt på siden. Du vet kansje hva dette tallet heter. Dette kalles en Googol. En Googol. Tidlig på 90-tallet, hvis noen sa: Hei, det er en, det er en Googol, ville du ikke tenkt på en søkemotor. Du ville tenkt på tallet 10¹⁰⁰, som er et enormt stort tall. Det er større en antallet atomer, eller det antatte antall atomer i det kjente univers. I det kjente univers. Vi kan lure på hva ellers som er ute der. Jeg leste om dette for ikke så lenge siden, og hvis jeg husker riktig består det kjente univers av, et antall omkring 10⁷⁹ til 10⁸¹ atomer. Dette er selvagt rundt regna. Ingen kan telle det Vi kan bare estimere det, eller bedre, gjettimere det. Men det er et stort tall. Men kanskje mer interessant for deg er det at dette tallet var motivasjonen bak navnet til den veldig populære søkemotoren Google. Google, er bare en feilstaving av Googol. Jeg vet ikke hvorfor de kalte det Google. Kanskje de fikk domenet, kanskje de vil samle så mye informasjon. Kanskje så mange byte informasjon, eller kanskje det bare er et kult ord. Uansett hva det er-- Kanskje det var grunnleggerens favoritttall, men det er kult å vite. Men, jeg sporer av. Dette er en Googol, det er et 1-tall, og hundre nuller. Men jeg kan også skrive det som 10¹⁰⁰. Som helt klart er en enklere måte å skrive dette på. Dette er enklere. Dette er så tungvint å skrive at jeg ikke tok meg bryet engang. Det ville tatt en evighet. Dette her var bare tjue nuller. Hundre nuller vill fylt opp skjermen, og du ville ha kjedet deg Så jeg skrev det ikke engang. Så dette er helt klart lettere å skrive. Hvordan kan vi skrive-- Dette er bare godt for potenser av 10. Men hvordan kan vi skrive noe som ikke er en potens av 10? Hvordan kan vi bruke denne enkelheten? For å gjøre det må du bare innse at dette tallet kan vi skrive som-- Hvor mange siffer er det i det? Det har en, to, tre, og så tjue nuller. Så det har tjuetre siffer etter 6-tallet. Tjuetre siffer etter 6-tallet. Så hva skjer hvis jeg har-- Hvis jeg bruker-- Hvis jeg prøver å nærme meg det med en potens av 10. Hva hvis jeg sa 10²³. Jeg gjør det i lilla. 10²³, hva er det lik? Det er lik 1, og 23 nuller. En, to, tre, fire, fem, seks, sju, åtte, ni, ti, elleve, tolv, tretten, fjorten, femten, seksten, sytten, atten, nitten, tjue, tjueen, tjueto, tjuetre. Det er 10²³. Nå, er det en måte vi kan skrive det tallet som et multiplum av dette? Vel, vi kan. Hvis vi ganger dette med 6-- Hva er 6-- Hva får vi hvis vi ganger 6 med 10²³? Vi får et 6-tall, fulgt av tjuetre nuller. Vi får 6, og så tjuetre nuller. La meg skrive det. Tjuetre nuller der. Så alt jeg gjorde-- 6 ganger dette-- Du får 6 ganger dette 1-tallet, og alle 6-tallene ganger 0-ene forblir nuller. Så vi får 6, fulgt av tjuetre nuller. Så det er ganske nyttig. Men vi har fortsatt ikke nådd dette tallet. Dette hadde noen 2-tall i seg. Så hvordan kan vi komme nærmere? Hva om vi skrev det som et desimaltall? Dette tallet ville vært identisk med det tallet, hvis disse 2-tallene var nuller. Men hvis vi beholde 2-tallene, hva kan vi gjøre? Vi kan sette et desimal her. Vi kan si at dette er 6,022 ganger 10²³. Og nå er dette tallet identisk med det tallet. Men det er mye enklere å skrive. Og du kan sjekke det hvis du vil, det vil ta litt tid. Kanskje vi bør gjøre det med mindre tall først. Men hvis du ganger 6,022 med 10²³ og skriver det ut, vil du få det tallet der. Du vil få Avogadros tall. Avogadros tall. Og selv om det er komplisert, eller det ser litt vanskelig ut til å begynne med. Dette er bare et tall, skrevet ut. Dette har et gangetegn, og en potens av 10. Du sier kanskje at det ikke er så enkelt, men det er det. Fordi, du vet med en gang hvor mange nuller det er, og, det er åpenbart at det er en mye kortere måte å skrive dette tallet. La oss ta et par til. Jeg begynte med Avogadros tall fordi det viser virkelig nødvendigheten av normalformen. Så du ikke trenger å skrive slike tall om og om igjen. Så la oss ta et par andre tall, og skrive dem på normalform. La oss si jeg har tallet-- La oss si jeg har tallet 7345. Og jeg vil skrive det på normalform. Så, jeg tror den beste måten å tenke på det er at Det er 7 tusen, 345. Så hvordan kan jeg representere tusen? Vel, jeg skrev det her borte. 10³ er lik 1000. Vi vet at 10³ er lik 1000. Så det er den største potensen av 10 som får plass i dette. Dette er 7 tusen. Så, dette er 7 tusen, så er det 0,3 tusen og så er det 0,04 tusen. Jeg vet ikke om det hjelper deg. Vi kan skrive dette som 7,345 ganger 10³. Det blir 7 tusen pluss 0,3 tusen-- Hva er 0,3 ganger 1000? 0,3 ganger 1000 er 300. Hva er 0,04 ganger 1000? Det er 40. Hva er 0,005 ganger 1000? Det er 5. Så 7,345 ganger 1000 er lik 7345. La meg multiplisere det, for å gjøre det klart. Så 7,345 ganger 1000. Jeg gjør det ved å ignorere nullene, jeg ganger 1 med det tallet der. Så jeg får 7345, og jeg har tre nuller her, så jeg setter de bakerst. Og så har jeg tre desimalplasser. En, to, tre. En, to, tre, desimalen der. Og der er det. 7,345 ganger 1000 er virkelig 7345. La oss gjøre et par til. La oss si vi vil skrive tallet 6 på normalform. Det er selvfølgelig ikke nødvendig, men hvordan ville du gjort det? Hva er den største potensen av 10 som passer i 6? Vel, den største potensen av 10 som passer er 1. Vi kan skrive det som, noe, ganger 10⁰. Dette er bare 1, sant. Det er bare 1. Så 6 er lik hva ganger 1? Vel, det er 6. Så 6 er lik 6 ganger 10⁰. Du trenger ikke å skrive det slik. Dette er mye enklere. Men det viser at du kan faktisk skrive et hvilket som helst tall på normalform. Nå, hva om vi vil skrive noe som dette-- Jeg begynte videoen med å si at i vitenskapen har du, veldig store og veldig små tall. Så la oss si du har tallet-- Jeg gjør det i denne fargen. Tallet-- En, to, tre, fire, og så, la oss si fem nuller, fulgt av et sjutall. Igjen, dette er ikke et lett tall å regne med. Men hvordan kan vi regne med det som en potens av 10? Hva er den største potensen av 10 som får plass i dette tallet? Som dette tallet er delelig på. La oss tenke på det. Alle potensene av 10 vi holdt på med i stad var positive potenser av 10. Men vi kan også ta negative potenser av 10. Vi vet at 10⁰ er 0. La oss begynne der. 10⁻¹ er lik 1/10, som er lik 0,1. Jeg bytter farge til rosa. 10⁻² er lik 1/10², som er lik 1/100 som er lik 0,01. Jeg tror du skjønner det. La meg gjøre en til. 10⁻³. 10⁻³ er lik 1/10³, som er lik 1/1000, som er lik 0,001. Så mønsteret her er at 10 opphøyd i et hvilket som helst negativt tall er så mange plasser du får bak desimalet. Så her er det ikke antall nuller. I 10⁻³ har du bare to nuller, men du har tre plasser bak desimalet. Så, hva er den største potensen av 10 som passer i dette? Vel, hvor mange desimalplasser bak kommaet har jeg? Jeg har en, to, tre, fire, fem, seks. Så 10⁻⁶ blir lik 0, og så har vi seks plasser bak kommaet og den siste plassen er et 1-tall. Vi får fem nuller, og et 1-tall. Det er 10⁻⁶. Dette tallet her er 7 ganger det tallet. Hvis vi ganger dette med 7, får vi 7 ganger 1, og så har vi en, to, tre, fire, fem, seks tall bak kommaet. Så en, to, tre, fire, fem, seks. Så dette tallet ganger 7 er helt klart likt tallet vi begynte med. Så vi kan skrive om dette. Istedet for å skrive dette hver gang, kan vi skrive det som dette talet-- Eller vi kan skrive det som 7 ganger dette tallet. Dette tallet er ikke bedre enn det tallet. Men dette er det samme som 10⁻⁶. 7 ganger 10⁻⁶. Nå kan du forestille deg. Forestill deg tallet-- Hva om vi hadde 7-- La meg tenke på det på denne måten. Hva om vi hadde et 7-tall-- Et 7-tall og et 3-tall der. Hva ville vi gjort? Vi ville gått til det første sifferet her fordi det er på en måte den største potensen av 10 som kan gå opp i dette her. Så om vi ville representere det-- La meg ta et annet desimaltall. La oss si 0,0000516 og jeg vil skrive det på normalform. Jeg går til det første ikke-siffer null. Det første ikke-null siffer, ikke ikke-siffer null, som er der. Hva er den største potensen av 10 som passer i det? En, to, tre, fire, fem. Så det vil bli lik 5,16. Jeg tar 5-eren der, og alt annet kommer bak kommaet, ganger 10-- Dette blir den største potensen av 10 som går opp i dette første sifferet som ikke er 0. Det er en, to, tre, fire, fem, så 10 opphøyd i -5. La meg gjøre et eksempel til. Poenget jeg vil få fram er at du går til det første, fra venstre det første sifferet som ikke er 0, er hvor du får potensen fra. Det er der jeg fikk 10⁻⁵, for jeg talte en, to, tre, fire, fem. Du må telle det tallet, som vi gjorde her. Og så kommer alt annet bak kommaet. La meg ta et eksempel til. Si jeg har komma-- Kona mi sier alltid at jeg må skrive 0 foran kommaet for hun er lege, og hvis folk ikke ser kommaet kan noen ta overdose av en medisin. Så la oss skrive det på hennes måte. 0,0000000008192. Dette er helt klart et tungvint tall å skrive, og, du kan glemme en 0, eller skrive for mange, som kan koste deg dyrt hvis du driver med viktig forskning, eller kanskje-- Du kan ikke foreskrive medisin i så små doser, eller kanskje du kan. Jeg vil ikke gå inn på det. Men hvordan kan jeg skrive dette på normalform? Jeg begynner med det første tallet som ikke er 0, ifra venstre. Så det blir 8,192, jeg skrev bare et komma før 192, ganger 10 opphøyd i hva? Det er bare å telle. Ganger 10 opphøyd i en, to, tre, fire, fem, seks sju, åtte, ni, ti, jeg må ta med det tallet. 10⁻¹⁰. Og jeg tror du finner det tilfredsstillende, at dette tallet er enklere å skrive enn det tallet der. Nå, og dette er en annen mektig egenskap ved normalformen. La oss si jeg har disse to tallene og jeg vil multiplisere dem. Jeg vil gange 0,005 med tallet 0,0008. Dette er faktisk ganske greit å gjøre, men noen ganger kan det bli ganske tungvint. Særlig hvis du har tjue eller tredve nuller på hver sin side Jeg setter et par nuller her for å gjøre kona mi glad. Men når du gjør det i normalform vil det faktisk forenkle det. Dette kan skrives om som 5 ganger 10 opphøyd i hva? Jeg har en, to, tre plasser bak kommaet. 10³. Og dette er 8-- Så dette er ganger 8 ganger 10 opphøyd i-- Unnskyld, dette er 5 ganger 10 opphøyd i minus 3. Og det er veldig viktig. 5 ganger 10³ ville blitt 5000. Vær veldig forsiktig med det. Hva blir dette lik? Dette er en, to, tre, fire plasser bak desimalet så det er 8 ganger 10⁻⁴. Så hvis vi ganger tall-- Hvis vi ganger disse to er det det samme som 5 ganger 10⁻³ ganger 8 ganger 10⁻⁴. Det er ikke noe spesielt ved normalformen det betyr bokstavelig talt det som står. Så om vi multipliserer kan vi skrive det som dette. Og i multiplikasjon har ikke rekkefølge noe å si så jeg kan skrive om dette til 5 ganger 8 ganger 10⁻³ ganger 10⁻⁴. Hva er 5 ganger 8? Vi vet at 5 ganger 8 er lik 40. Så det er 40 ganger 10⁻³ ganger 10⁻⁴. Og hvis du kan ekspoentreglene, vet du at når du ganger to potenser med samme grunntall kan du bare legge sammen eksponentene deres. Så du legger sammen -3 og -4. Så det blir lik 40 ganger 10⁻⁷. La oss ta et eksempel til. La oss gange Avogadros tall-- Det vet vi at er 6,022 ganger 10²³. La oss gange det med et veldig lite tall. Ganger, si-- 7,23 ganger 10⁻²². Så dette er et veldig lite tall, Du får et desimal, og tjuetre nuller og et 7-tall, og 2 og 3. Så dette er et veldig lite tall. Men multiplikasjon med tall på normalform er faktisk ganske rett fram. Dette blir lik 6,0-- La meg skrive det ordentlig. 6,022 ganger 10²³ ganger 7,23 ganger 10⁻²². Vi kan endre rekkefølgen. Så det er lik 6,022 ganger 7,23. Det er den delen. Du kan se det som de første delene av normalformen. Ganger 10²³ ganger 10⁻²². Og nå, her må du gange desimaltall. Det blir et tall-- Førti og noe, tror jeg. Jeg klarer ikke den i hodet. Men denne delen er ganske lett å regne ut. Jeg lar denne stå som den er, men denne delen her blir ganger 10²³ ganger 10⁻²². Du legger bare sammen eksponentene, så får du ganger 10¹ eller, ganger 10. Og dette tallet, hva enn det blir, jeg lar det stå her siden jeg ikke har en kalkulator komma to tre. La oss se hva det blir, 7,2, la oss se, ,2 ganger-- Det blir omtrent 41. Så dette er omtrent 41 ganger 10¹ Eller, på en annen måte-- Det blir omtrent 410. Og for å få det riktig må du faktisk regne ut dette. Så forhåpentligvis ser du at normalformen for det første er veldig nyttig for superstore og supersmå tall. Og at ikke bare er det nyttig for å forstå og skrive tallene Men det gjør det også enkelt å regne på tallene.