Hovedinnhold
Gjeldende klokkeslett:0:00Total varighet:14:20

Matrix word problem: vector combination

Videotranskripsjon

I den siste videoen så vi hvordan inverse matriser kan brukes til å løse et sett med ligninger Og vi løste en 2 gange 2 matrise I fremtiden vil vi løse en 3 gange 3 matrise. Vi kommer ikke til å løse 4 gange 4, da det tar for lang tid. Men du vil se at det gjelder for alle n gange n matriser. Og det er trolig anvendelsen av matriser som du vil lære i Algebra 2 eller Algebra 1 klasse. Og ofte kan du lure på hvorfor matriser i det hele tatt? Nå vil jeg vise deg en annen anvendelse av matriser som faktisk er mer sannsynlig å se i lineær algebra- klassen når du tar den på videregående. Men den virkelig fien tingen her er, og jeg tror dette vil gå hjem er at matrise-representasjon bare er én måte å representere flere typer problemer. Og det som virkelig er kult er at hvis forskjellige problemer kan representeres på samme måte, betyr det at de er det egentlig er samme problem. Og det kalles en Isomorfisme i matematikk. Hvis du kan redusere ett problem i et annet problem deretter alt arbeidet du gjorde med en av dem. gjelder til den andre. Men likevel, la oss finne ut en ny måte som matriser kan brukes. Så kommer jeg til å trekke noen vektorer. La oss si jeg har vektor--la oss kalle denne vektoren en. Og jeg skal bare skrive dette er som en kolonne vektor. Og alt dette er bare konvensjonen. Disse er bare menneskelig oppfunnet ting. Jeg kunne ha skrevet dette diagonalt. Jeg kunne ha skrevet dette imidlertid. Men hvis jeg si vektor en er 3, negativ 6. Og jeg vise dette som x-komponenten av vektoren, og Dette er lik y-komponenten av vektoren. Og så jeg har vektor b. Vektor b er lik 2, 6. Og jeg vil vite er det noen kombinasjoner av vektorer en og b--der du kan si, 5 ganger vektor en, pluss 3 ganger vektor-b, eller 10 ganger victor minus vektor 6 ganger b--noen kombinasjon av vektoren en og b, hvor jeg kan få vektor c. Og vektor c er vektoren 7, 6. Så la meg se om jeg kan visuelt trekke dette problemet. Så la meg trekke koordinere aksene. La oss se dette. 3, negativ 6. Det vil være i kvadrant--disse er både i den første kvadranten. Så jeg bare ønsker å regne ut hvor mye av den Jeg trenger å tegne akser. Så la oss la se, meg gjøre en annen farge. Det er min y-aksen. Jeg er ikke tegning andre eller tredje kvadrantene, fordi jeg tror ikke våre vektorer Vis der oppe. Og så dette er x-aksen. La meg trekke hver av disse vektorer. Så først vil jeg gjøre vektoren en. Det er 3, negativ 6. 1, 2, 3 og deretter negativ 6. 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Så er det der. Så hvis jeg ønsket å tegne den som en vektor, vanligvis Start på opprinnelsen. Og det trenger ikke å starte i origo sånn. Jeg velger bare å. Du kan flytte rundt en vektor. Har det bare å ha samme papirretning og samme størrelsesorden. Så er vektor en for grønne. Nå la meg gjøre i magenta, vil jeg gjøre vektoren b. Det vil si 2, 6. 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Så 2, 6 er rett over der. Og det er vektor b. Slik det vil se slik ut. Det er vektor b. Og la meg skrive ned vektor ned der. Det er vektor en. Og jeg vil ta en kombinasjon av vektorer en og b. Og legge dem og få vektor c. Så hva vektor c ligne? Det er 7, 6. La meg gjøre det i lilla. Så 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Komma 6. Så 7, 6 er rett over der. Det er vektor c. Vektor c ser sånn. Jeg kommer til å trekke det sånn. Og det er vektor c. Så hva var det opprinnelige problemet jeg sa? Jeg sa jeg vil legge til noen flere vektoren for en til noen multiplum av vektoren b og få vektor c. Og jeg vil gjerne se hva de Combi er. Så la oss si at flere jeg mangfoldiggjøre ganger vektor en er x. Og flere av vektoren b er y. Så jeg egentlig ønsker å si at--la meg gjøre det på en annen nøytral farge--som vektor ax--som er hvor mye av vektor en jeg bidrar-- pluss vektor av--det er hvor mye av vektor b jeg bidrar--er lik vektor c. Og du vet, kanskje jeg kan ikke. Kanskje det er ingen kombinasjoner av vektoren en og b når du legger til dem lik sammen vektor c. Men la oss se om vi kan løse dette. Så hvordan vi løse? Så la oss utvide ut vektorer en og b. Vector en er hva? 3, negativ 6. Så vektor a, vi kan skrive som 3, minus 6 ganger x. Som bare forteller oss hvor mye vektor en vi bidra. Pluss vektor b, som er 2, 6. Og deretter y er hvor mye vektor b vi bidra. Og det er lik 7, 6. Vektor c. Nå denne rett her, dette problemet kan bli omskrevet bare basert på hvordan vi har definert matrise multiplikasjon, et cetera, et cetera, som dette. Eksempel 3 minus 6, 2, 6 ganger x, y, er lik 7, 6. Nå hvordan fungerer som? Vel Tenk på hvordan matrise multiplikasjon funker. Måten vi lært matrise multiplikasjon, sa vi, 3 ganger x, pluss 2 ganger er y lik 7. 3 ganger x pluss 2 ganger y er lik 7. Det er hvordan vi lærte matrise multiplikasjon. Det er samme her. 3 ganger x, pluss 2 ganger y, kommer til å være lik 7. Disse x og y her er bare skalar tall. Så 3 ganger x pluss 2 ganger y er lik 7. Og deretter matrise multiplikasjon her, minus 6 ganger x + 6 er lik 6 ganger y. Det er bare tradisjonelle matrise multiplikasjon som vi har lært flere videoer siden. Det er samme her. Minus 6 x + 6y er lik 6. Disse kryss og y's er bare tall. De er bare skalar tall. De er ikke vektorer, eller noe. Vi ville bare multiplisere dem ganger begge disse numrene. Så forhåpentligvis du se at dette problemet er nøyaktig samme ting som dette problemet. Og du har kanskje hatt en en-ha øyeblikk nå, hvis du har sett den forrige video. Fordi denne matrisen også representert problemet, der Vi finner i skjæringspunktet mellom to linjer? Der de to linjene--jeg bare tenkt å gjøre det på side Her--skjæringspunktet for de to linjene, 3 x pluss 2y er lik 7. Og minus 6 x + 6y er lik 6. Og så, jeg hadde trukket to linjer. Og vi sa, hva er poenget med kryss, et cetera, et cetera. Og det var representert av dette problemet. Men her, vi har--vel jeg vil ikke si et helt annet problem, fordi vi lærer de er faktisk svært like-- men her jeg gjør et problem av, Jeg prøver å finne hvilken kombinasjon av matriser en og b legger opp til matrix-c. Men det har redusert til samme matrix-representasjon. Og slik at vi kan løse dette samme nøyaktig måte vi løste Dette problemet. Hvis vi kaller dette for matrise en, la oss finne ut en INVERS. Så får vi en inverse er lik hva? Det tilsvarer 1 over determinant av en. Determinant av en er 3 ganger 6. 18 minus minus 12. Så det er 18 pluss 12, som er 1/30. Og vi gjorde dette i forrige videoen. Du bytte disse to tallene. Så får du 6 og 3. Og du gjør disse to negativer. Så får du 6 og minus 2. Det er en INVERS. Og nå for å løse for x og y, kan vi multipliserer begge sider av denne ligningen ved en INVERS. Hvis du multiplisere en omvendt ganger, dette avbryter. Slik at du får x, y er lik en inverse ganger dette. Den er lik 1/30 ganger 6, minus 2, 6, 3. Ganger 7, 6. Og husk, med matriser, rekkefølgen som du multiplisere saker. Så på denne siden, vi multipliseres med en inverse på Denne siden av ligningen. Så har vi å gjøre en inverse til venstre på denne siden av denne ligningen. Så er det hvorfor gjorde det her. Hvis vi gjorde det den andre veien, er alle spill av. Så hva er dette lik? Dette er lik 1/30 ganger-- og vi gjorde dette forrige problemet--6 ganger 7 er 42, minus 12. 30. 6 ganger 7, 42. Pluss 18. 60. Slik som er lik 1, 2. Så hva dette fortelle oss? Dette forteller oss at hvis vi har 1 ganger vektor en, pluss 2 ganger vektoren b. 1 ganger--er dette 1-- og 2 ganger vektor b. Så 1 ganger vektor vektor for et pluss 2 ganger er b lik vektor c. Og la oss bekrefte at visuelt. Så 1 ganger vektor en. Vel er det vektor rett der. Så hvis vi legger 2 b 's vektor til det, bør vi få vektor c. Så la oss se om vi kan gjøre som. Så hvis vi bare skifte vektor b over denne måten, vel vektor La oss se, vektor b er over 2 og opp 6. Så over 2 og opp 6 ville komme oss dit. Så 1, vektor-b--bare gjøre hoder til hale visuelle metoden for legge til vektorer--ville komme oss dit. 1, 2, 3. bra. Nei, la meg se. 1, 2, 3. Og deretter vektor b går over to mer. to mer. Så vil det få oss opp 6. Det er sånn. Så er det 1, vektor b. Og hvis vi legger til en annen-- men vi ønsker 2 ganger vektor b. Vi egentlig trenger to vektor b 's Så vi hadde en, og deretter legger vi til en annen. Jeg tror visuelt du ser at det gjør faktisk--jeg ikke ønsker å gjøre det sånn. Jeg ønsket å bruke linjeverktøyet, slik at det ser ryddig. Så legger du til en annen vektor-b. Og der har du det. Det er en vektor-b. Så er det 2 ganger vektor b. Så er det samme retning som vektoren b, men det er to ganger lengde. Så viste vi visuelt den. Vi løste det algabraically. Men den virkelige læring, og store virkelige oppdagelsen av dette hele videoen, er å vise deg som matrise-representasjon kan representere flere ulike problemer. Dette var en å finne kombinasjoner av en vektor-problemet. Og den forrige som det var å finne ut om to linjer kan krysser hverandre. Men hva det forteller deg er at disse to problemene er koblet sammen i en dyp måte. At hvis vi tar finér av virkeligheten, som underliggende det, de er samme. Og ærlig, det er derfor matte er så interessant. Fordi når du innser at to problemer er virkelig den samme ting på, det tar alle overfladiske menneskelige finér unna ting. Fordi hjernen vår er slags kablet for å oppfatte verden i en bestemt måte. Men det forteller oss at det ikke er noen grunnleggende sannhet, uavhengig av vår oppfatning, som er knytte alle disse forskjellige begreper sammen. Men likevel, jeg ønsker ikke å få alle mystisk på deg. Men hvis du ser mystikk i matematikk er, jo bedre. Men forhåpentligvis du fant det ganske interessant. Og faktisk, jeg vet jeg kommer over tid, men jeg tror dette er--mange mennesker tar lineær algebra, de lærer hvordan å gjøre alle tingene, og de sier, vel hva er den hele poenget med dette? Men dette er slags en interessant ting å tenke på. Vi hadde denne hadde vektor en og vi hadde på denne vektoren b. Og vi var i stand til å si, vel det er noen kombinasjoner av vektorer en og b, som når vi lagt den opp, Vi fikk vektor c. Så et interessant spørsmål er, hva er alle vektorer som Jeg kunne komme til ved å legge til kombinasjoner av vektorer en og b. Legger til eller trekke fra. Eller du kan si, jeg kan multiplisere dem med negative tall. Men uansett. Hva er alle vektorer som jeg kan få ved å ta Lineær kombinasjoner av vektorer en og b? Og som er egentlig alarmert vektorrom spredt av det vektorer en og b. Og vi vil gjøre mer av det i lineær algebra. Og her vi arbeider med en to dimensjonale Euklids rommet. Vi kunne ha hatt tre dimensjonale vektorer. Vi kunne har hatt n dimensjonale vektorer. Slik at det blir virkelig, virkelig, virkelig abstrakt. Men dette er, tror jeg, en virkelig god tå dipping for lineær algebra også. Forhåpentligvis har ikke jeg forvirret eller overveldet deg. Sees i neste video.