Vinkelmåling & sirkelbuer

Vi vet allerede, at det dannes vinkler, når to halvlinjer har samme endepunkt. For eksempel har vi en halvlinje her, og vi har en annen halvlinje her. De to halvlinjene danner en vinkel, og det her punktet, som er de to halvlinjenes felles endepunkt, kalles vinkelspissen. Vi vet også, at alle vinklene ikke er like. Vi har for eksempel en vinkel her, og til høyre for den kan vi så tegne en ny vinkel, som ser slik ut. Hvis vi sammenligner de to vinklene, ser det ut som, at den her er mer åpen enn den til venstre, så vi skriver, at den her er mer åpen. Den her borte er mindre åpen, og derfor skriver vi, at den er mindre åpen. For å unngå å skulle si mer åpen og mindre åpen hele tiden, kan vi være mer presise og bestemme, hvor åpen eller hvor lukket en vinkel er. Vi vil ha et mål for, hvor stor vinkelen er. Det er to måleenheter til å beskrive størrelsen på en vinkel. Den mest brukte måleenheten er grader. Den andre måleenheten er radianer, men det lærer man først noe om i videregående. Radianer blir brukt mye i trigonometri. Måleenheten grader stammer fra en sirkel, så la oss tegne en sirkel. Det her er en sirkel. Det karakteristiske ved en sirkel er, at det er 360 grader hele veien rundt sirkelen. Det her er sirkelens senter, og den her halvlinjen er startpunktet vårt, eller den ene halvlinjen i vinkelen vår. Hvis man går hele veien rundt i sirkelen, har man en vinkel på 360 grader. 360 grader. Man viser, at enheten er grader ved å tegne en liten sirkel overs til høyre for tallet. Det her er altså 360 grader. Man kan nå spørre seg selv, hvor de 360 kommer fra. Ingen vet det med sikkerhet, men man kan sammenligne det med den måten universet er på, eller i hvert fall jorden rotasjon om solen. Det er 365 dager i et år, og 366 dager i et skuddår. Man kan forestille seg, at en astronom engang har sagt, at de 365 eller 366 dagene nesten er 360. De 365 og 366 er nesten 360. Faktisk hadde eksempelvis perserne kun 360 dager i året. 360 er også et penere tall, fordi 360 har fler divisorer enn 365. 360 kan divideres med mange fler tall enn 365 kan. De 360 er altså det tallet, som er blitt bestemt gjennom historien. I en sirkel er det altså 360 grader hele veien rundt. Hvordan måler man så en vinkel? Vi kan plassere den ene halvlinjen i vinkelen, som har gjort her, og den andre halvlinjen i vinkelen vil være her et sted. Vinkelen er nå den brøkdelen av en sirkel, som det er mellom de to halvlinjene. Det er altså en brøkdel av sirkelens periferi. Vinkelen vil så være den brøkdelen målt i grader. La oss nå bruke våre vinkler her som eksempel. Vi sier, at den her delen av sirkelen, som vi har markert med en rosa, er en sjettedel av sirkelens periferi. En sjettedel av sirkelens periferi. Det utgjør altså en sjette del av hele sirkelens periferi. Derfor vil den her vinkelen være en sjettedel av 360 grader. Vinkelen vil altså være 60 grader. Vi laget et nytt eksempel. Vi har en sirkel her. Vi tegner først senter i sirkelen, som også er vinkelens vinkelspiss. Den ene halvlinjen er her, og det tilsvarer 0 grader. Hvis den andre halvlinjen også var her, ville det være 0 grader. Nå tegner vi den andre halvlinjen i vinkelen, og den går loddrett opp. Den går loddrett opp sånn her. I det her tilfelle utgjør buen mellom de to halvlinjene en fjerdedel av hele sirkelens periferi. Vi markerer likegodt stykket med rosa. En fjerdedel av sirkelperiferien. En fjerdedel av sirkelperiferien. Vinkelen mellom de to halvlinjene vil altså være en fjerdedel av 360 grader. 360 grader dividert med 4 er lik 90. Når den ene halvlinjen i vinkelen går loddrett opp og den andre halvlinjen går vannrett ut enten til høyre eller venstre, sier vi, at de to halvlinjene er vinkelrette på hverandre. Når de to halvlinjene er vinkelrette, har vi en rett vinkel. Det kan vi vise på tegningen ved å tegne et kvadrat mellom de to halvlinjene. Det betyr, at vinkelen er 90 grader. La oss lage et eksempel til, så er vi helt med på, hva som skjer. Det kan faktisk hende, at det kommer enda et eksempel etter, hvis det er tid til det. Vi har en ny sirkel her nede. Igjen starter vi med å tagne senter i sirkelen, og vinkelen ene halvlinje, så vinkelen har vinkelspiss i sirkelens senter. Nå tegner vi den andre halvlinjen, og den ser sånn ut. Det vil bære et godt tidspunkt å sette videoen på pause å og prøve selv å regne ut, hvor mange grader denne vinkelen er. La oss først tenke på, hvor halvlinjene skjærer sirkelens periferi. Her og her. Buen, som forbinder de to halvlinjene, markerer vi med rosa, og det er faktisk halvdelen av sirkelens periferi. Det er halvdelen av veien helt rundt hele sirkelen. Det er halvdelen av hele sirkelens periferi. Vinklene her vil altså være halvdelen av 360 grader. Halvdelen av 360 er 180, så vinklene vil være 180 grader. De to halvlinjene har et felles endepunkt i sirkelens senter, og de danner til sammen en hel linje. La oss lage et siste eksempel. Vi har sirkelen her, og starter igjen med å tegne senter i sirkelen og vinkelens ene halvlinje. Vi har den ene halvlinjen her akkurat som de andre eksemplene. Den andre halvlinjen tegner vi nå, og den ligger her. Det er dannet to vinkler mellom de to halvlinjene, og det er det faktisk i alle eksemplene våre. Det er en vinkel her, og den er 90 grader, men vinkelen, vi vil se på nå, er her. Vi ser igjen, hvor de to halvlinjene skjærer sirkelens periferi, og så ser vi på buen mellom de to halvlinjene. Det er den buen, som svarer til vinkelen her inne. Det ser ut til, at buen utgjør 3 fjerdedeler av hele sirkelen, så den her vinkelen vil altså være 3 fjerdedeler av 360 grader. En fjerdedel av 360 grader er 90 grader, så 3 fjerdedeler må være 270 grader.