2003 AIME II oppgave 1

Her er en oppgave fra en amerikansk matematikktest fra 2003. Dette er den første oppgaven i prøven. Produktet N av 3 positive heltall er 6 ganger deres sum, og et av heltallene er summen av de to andre. Finn summen av alle mulige verdier av N. Det er 3 positive heltall. Vi kaller de 3 positive heltallene for a, b og c. De er alle positive, og de er alle heltall. a ganger b ganger c er lik N. Det er lik 6 ganger deres sum. Produktet N av 3 positive heltall er 6 ganger deres sum. 6 ganger a pluss b pluss c. 1 av heltallene er summen av de andre 2. La oss si, at c er summen av a og b. Vi kunne valgt hvilken som helst, men velger c. a pluss b er lik c. C er summen av a og b. Finn summen av alle mulige verdier for N. La oss endre litt på informasjonen vi har mottatt. Hvis vi kan sette noen begrensninger på tallene, kan vi komme opp med noen løsninger. Vi vet at a pluss b er lik c. Nå kan vi erstatte c alle steder med a pluss b. Dette uttrykket blir a b ganger a pluss b. Det er lik 6 ganger a pluss b pluss c, som jo er a pluss b. På høyre side sier det 6 ganger a pluss b pluss a pluss b. Det er det samme som 6 ganger 2a pluss 2b. Vi har lagt a'ene og b'ene sammen. Nå kan vi faktorisere det. 6 ganger 2 er 12. Nå står det 12 ganger a pluss b. På venstre side står det fortsatt a b gange a pluss b. a b gange a pluss b er lik 12 gange a pluss b. Det er interessant. Vi kan dele begge sider med a pluss b. Vi vet, at a pluss b ikke kan være lik 0. Alle tallene skal jo være positive. Hvis de var 0, og vi deler på de, vil vi få et udefinert svar. Det kan vi ikke. Hvis vi deler begge sider med a pluss b, får vi a gange b er lik 12. Alle opplysningene, vi fikk, er nå blitt redusert til dette. Produktet av a og b er lik 12. Det er et bestemt antall positive heltall, der produktet av to av de gir 12. La oss prøve de. Vi skriver a, b og c. Nå ser vi på produktet deres. Vi skrive produktet a b c her. Hvis a er lik 1, er b 12. c er summen av de 2, så er c 13. 1 ganger 12 ganger 13. 12 ganger 12 er 144 pluss 12 er 156. Vi kan sørge for at dette er lik 6 ganger summen. Summen er 26. 26 ganger 6 er 156, så løsningen fungerer. Vi vet, at det fungerer, fordi a b skal være lik 12. La oss prøve en annen. 2 ganger 6. Summen er 8, og produktet av alle er 96. Nå prøver vi 3 og 4. 3 pluss 4 er 7. 3 ganger 4 er 12. 12 ganger 7 er 84. Det er ingen andre. Vi kan ikke gå over 12, for da er det ikke heltall, men brøker. Vi kan ikke bruke negative tall, for de må være positive. Det er det. Det er alle de positive heltallene, der produktet er 12. Vi har faktorisert 12. De vil ha oss til å finne summen av alle mulige verdier for N. Det her er alle de mulige verdiene, for N. N er produktet av disse positive heltall. La oss finne summen. 6 pluss 6 er 12. 12 pluss 4 er 16. 1 pluss 5 er 6. 6 pluss 9 er 15. 15 pluss 8 er 23. 2 pluss 1 er 3. Vårt svar er 336.