Bevis om likebente trekanter

Vi har trekant ABC her. Vi kan se av figuren at lengden av AB er lik lengden av AC. Linjestykket AB er kongruent med linjestykket AC. Siden dette er en trekant med to kongruente sider, kan vi si at det er en likebent trekant. Det er en likebent trekant. På engelsk heter det isosceles. Dette betyr at to av sidene i trekanten er lik med hverandre. I denne videoen skal vi bevise, at de 2 grunnvinklene er kongruente. Det er vinklene mellom de 2 sidene og den her siden, som ikke nødvendigvis er kongruente med de andre. Vi må vise at de to vinklene er kongruente. Vi må bevise at vinkelen ABC er kongruent med vinkel ACB. I en likebent trekant, kaller vi de to vinklene i bunnen for grunnvinkler. Denne vinkel kan kalles toppvinkel. De to sidene her kaller vi trekantens ben, og denne siden, som ikke nødvendigvis er lik de andre 2, kaller vi grunnlinjen. La oss se om vi kan bevise det. Vi har ikke fått mye informasjon til å begynne med. Vi vet bare at disse to sidene er like. Vi vet mye om kongruente trekanter, så vi kan kanskje lage noen fler trekanter, som kan hjelpe oss med å bevise det, vi skal. Hvis vi ønsker å bruke kongruente trekanter å bevise dette, må vi først lage noen flere trekanter. Vi kan begynne med å velge et punkt her. Det punktet kaller vi D. La oss si at D er midtpunktet mellom B og C. Lengden fra B til D er lik lengden fra D til C Vi lager 2 streker her og her. De to linjestykkene er lik med hverandre. Du kan alltid tegne et midtpunkt mellom 2 punkter. La oss tegne linjestykket AD. Nå har vi konstruert to trekanter. Det viser seg også, at trekant ABD og trekant ACD har to sider, som er kongruente, og derutover deler de en side. De deler siden i midten. Vi vet altså, at trekant ABD er kongruent med trekant ACD. Det vet vi på grunn av side-side-side. Vi har to trekanter, som har 3 kongruente sider. Derfor er de to kongruente trekanter. Dette er nyttig, fordi vi vet at hvis disse to trekantene er kongruente, er deres tilsvarende vinkler også kongruente. Vi har allerede bevist det vi skal. Det har vi, fordi den tilsvarende vinkelen til vinkel ABD i den her trekanten er vinkel ACD i den her trekanten. Så vi vet at vinkelen ABC er kongruent til vinkel ACB. Det er et godt resultat. Hvis man har en likebent trekant der to sider er kongruente, er de to grunnvinklene også kongruente. La oss nå se på det motsatte av det. Kan vi vite at de to sidene er kongruente hvis de to grunnvinklene er kongruente? La oss lage en trekant til og bevise det her. Vi tegner en trekant her. Det ser ut som dette. La oss tegne den litt bedre. Dette punktet kaller vi A. Dette er hva vi kaller B, og dette er hva vi kaller C. Nå begynner vi med å vite at vinkelen ABC er kongruent til vinkel ACB. De to vinkler er her derfor samme gradtall. Vi deler opp skjermen likt, slik at vi kan se at det er to forskjellige ting. Opp her har vi vist at grunnvinklene er kongruente, hvis to sider i trekanten er kongruente. Nå beviser vi at sidene er kongruente hvis vi vet at to grunnvinkler er kongruente. Vi trenger derfor å bevise at linjestykket AC er kongruent med linjestykket AB. Vi kan si at lengden av AC må være lik lengden av AB. Disse to tingene er faktisk den samme. La oss se hva vi kan gjøre. Vi vet allerede mye om kongrunens. Kan vi bruke det? For å bruke det, må vi ha to trekanter. La oss konstruere to trekanter. Denne gangen er ikke D senter her. I stedet skal D være dette punktet, som ligger rett under vinkelspiss A. Grunnen til at vi gjør det på denne måten er at vi vet at B vil være vinkelrett på BC. Vi vet også at hvis den ene side av D er en rett vinkel, vil den andre siden også være en rett vinkel. Hva kan vi bruke det til? Først, la oss skrive det ned. Vi har tegnet linjestykke AD, sånn at AD står vinkelrett på BC. AD er vinkelrett på BC. Det kan man alltid gjøre i en trekant som denne her. Hva gir dette oss? Vi har her en vinkel, en vinkel og en side. Her har vi en vinkel, som svarer til den her vinkelen, en vinkel, som svarer til den her vinkelen og en side, som svarer til siden i den andre trekanten. Vi vet altså, at de her to trekantene er kongruente. Det ved vi på grunn av vinkel-vinkel-sidekongruens. Når vi har med vinkel vinkel side å gjøre, vet vi at to trekanter er kongruente. Vi kan nå si at trekant ABD er kongruent med trekanten ACD. Vi vet dette på grunn av vinkel-vinkel-side. Denne vinkel, denne vinkelen, og denne siden. Denne vinkelen, denne vinkelen, og denne siden. Når vi vet at disse to trekantene er kongruente, vi vet også at alle tilsvarende deler av de to trekantene er kongruente. Så vi vet at AB er en tilsvarende side til AC. De to sidene er konguente. Vi har altså, at linjestykket AB er kongruent med linjestykke AC. Det er fordi vi har to kongruente trekanter. Nå har vi vist hva vi ønsket å bevise. Hvis grunnvinklene er kongruente, vil de to bene også være kongruente. Hvis de to benene er kongruente, vil grunnvinklene også være kongruente. Det er veldig, veldig nyttig kunnskap i geometri. Her oppe var D sentrum, og her var D like nedenfor A. Vi har ikke sagt noe om det var midtpunktet. Her kan vi vise at det er faktisk er midtpunkt. Det er et bonus resultat. Vi vet nemlig, at fordi de her to trekanten er kongruente, er BD kongruent med DC. De er tilsvarende sider. Det viser seg altså, at punktet D i en likebeint trekant ikke kun er midtpunkt, men også punktet like under A. AD vil alltid stå vinkelrett på grunnlinjen. AD skjærer BC i rett vinkel.