Innledning avhengig sannsynlighet

La oss tenke oss at vi er i en veldig merkelig Casino med noen rare spill. Vi går opp til et bord, og på bordet er en tom pose. Fyren som styrer bordet sier, "Jeg har noen glassperler her. 3 grønne og to oransje. Jeg putter dem i posen. " Så kaster han dem i posen. Det er 3 grønne og 2 oransje. Han sier: "Vi skal spille et spill, hvor du skal se bort, stikke en hånd ned i posen, røre litt på glasskulene, ta en, og hvis du får 2 grønne kuler på rad, vinner du 1 krone. " Vi skal altså stikke hånden ned i posen, og hvis vi tar 2 grønne på rad, 1 av gangen, vinner du 1 krone. Det er ikke mye, men hvis vi fortsetter lenge nok, kan vi vinne mye penger. Vi spør fyren, hvor mye det koster å prøve. Det koster 35 øre. . Så det er et ganske billig casino. Nå er spørsmålet: Er det lurt å spille spillet? Vi skal kun se, om vi kan tjene penger på det. Er det fornuftig å spille det? La oss beregne noen sannsynligheter. Hva er sannsynligheten for at den første ballen er grønn? . Sannsynligheten for at den første er grønn. . Hvor mange mulige utfall er det totalt? Det er 5 kuler, og sannsynligheten er like stor på alle av dem. Så det er 5 mulige utfall. 3 av dem er grønne, så 3 oppfyller betingelsen. Det er derfor 3/5 sjanse for at den første er grønn. . . Hvis vi starter med en grønn, er vi fortsatt i spillet. Men vi ønsker å vinne. Både den første og den andre skal være grønn. Hva er sannsynligheten for, at både den første og den andre er grønn? Vi skriver g før grønn. Kanskje tenker vi først, at sannsynligheten med kule nummer 2 er den samme. Så skulle vi gange 3/5 med 3/5, og det gir 9 over 25. Det er ganske enkelt. Men hva gjør vi med den første grønne kulen? Vi legger den jo ikke ned i posen igjen etterpå. Når vi tar den andre kulen, kommer antallet grønne kuler som er igjen i posen an på hva vi trakk første gangen. Vi tar kulen opp av posen og legger den på bordet. Vi legger den ikke tilbake igjen. Hendelsen er ikke uavhengig. De er avhengige. Hendelse nummer 2 er avhengig av hendelse nummer 1. Det kommer an på, hva vi trakk i hendelse nummer 1. Hvis vi trekker grønn i første trekk, er det ikke lenger 3 grønne igjen i posen. Så det er kun 2 igjen. Sannsynligheten for å trekke 2 grønne er altså lik sannsynlighet for å trekke den første grønne ganger sannsynligheten for å trekke enda en grønn gitt at vi trakk en grønn på første forsøk. Denne vertikale linjen betyr gitt. Gitt betyr at vi antar det. . Hva er sannsynligheten for at den andre kulen er grønn hvis den første kulen er grønn? . Hvis den første kulen er grønn, er det 4 og ikke 5 mulige utfall igjen. 2 av dem oppfyller betingelsen. 2 av de er grønne. Vi skal gange de 2 betingelsenes sannsynlighet sammen. Sannsynligheten for at den første er grønn, er 3/5. Hva er sannsynligheten for at den andre er grønn? Det er en kule mindre i posen. Vi trakk jo en grønn på første forsøke. Det er kun 2 grønne igjen nå. . 3/5 ganger 2/4. 2/4 er det samme som 1/2. 3/5 ganger 1/2 ganger. Det er lik 3/10. Det er 0,30. Det er 30 prosent. Så det er 30 prosent sjanse for å trekke 2 grønne kuler på rad. La oss nå vende tilbake til spørsmålet. Skal vi spille spillet? Hvis vi spiller spillet mange ganger, er i gjennomsnitt 30 prosent sjanse for å vinne 1 krone. . Så det er 30 prosent ganger 1 krone. . Det er 30 øre. . Hvert spill gir derfor gjennomsnittlig 30 øre, når det er en 30 prosent sjanse til å vinne 1 krone. Er det smart å betale 35 øre for å vinne 30 øre? . Nei. Vi bør holde oss borte fra spillet hvis vi ønsker å tjene penger. Vi kan tenke over, om vi ønsker å spille spillet hvis vi legger den grønne ballen tilbake i posen igjen etter det første trekket. Kanskje vi vil spille spillet da?