2011 Calculus BC svar på #6c

Del c: Fin verdien av den sjette deriverte av f-funksjonen evaluert i null. Du kan forestille deg om du forsøkte å finne den sjette deriverte av f, så ville det ta evigheter. For så å evaluere den i null, siden x i andre inngår og du måtte gjøre produkt- og kjernereglen om og omigjen. Dette ville bli veldig rotete. Men vi har et stort hint! Det at vi tidligere har funnet de fire første uttrykk for taylorrekken til f når x er lik null, forteller oss at det kanskje er en enklere måte å løse problemet enn å bare og finne den sjette deriverte av dette og evaluere den i null. Den enkleste å gjøre dette på er å gå tilbake, i det forrige problemet var vi istand til å finne de første fire ikke-null uttrykkene for taylorrekken til f, og om du ser på definisjonen av taylorrekken her, (og vi går i dybden av dette i en annen Khan Academy video, hvor vi snakker om hvorfor dette er rimelig), man ser at i hver grad i taylorrekken, er dens koeffisient den bestemte deriverte, (og denne taylorrekken er sentrert rundt null og det er det vi bryr oss om i dette problemet), vi ser at koeffisienten er den deriverte evaluert i null dividert med den grads fakultet. Så andregradsuttrykket er den andre deriverte av f evaluert i null dividert med to-fakultet. Fjerdegradsuttrykket er den fjerde deriverte av f evaluert i null dividert med fire-fakultet. Så sjettegradsuttrykket... La oss minne oss selv om hva vi i det hele tatt prøver å finne ut. De vil at vi skal finne ut den sjette deriverte av f evaluert i null, det er hva de vil at vi skal finne ut. Vel, om du tenker på taylorrekken sentrert i null, eller i null, eller tilnærmet rundt null, sjettegradsuttrykket i taylorrekkens tilnærmelse av f kommer til å være den sjettederiverte av f evaluert i null ganget med x i sjette potens over seks-fakultet. Dette kommer til å være sjettegradsuttykket i en taylortilnærming... i en taylorrekke. Og vi har uttrykket her! Dette er sjettegradsutrykket. Vi fant det i den forrige oppgaven. Dette her er sjettgradsuttrykket. Også har vi x i sjette potens her, x i sjette potens her. Man har seks-fakultet her borte seks-fakultet her borte. Så dette -121 må være den sjettederiverte av f evaluert i null. Så det er vårt svar. Dette er lik -121 og vi er ferdig.