Beviser om likesidede trekanter

Her har vi en trekant hvor alle tre sider har samme lengde. Alle tre sider er kongruente med hverandre. En slik trekant kaller vi likesidet. Dette er en likesidet trekant. Nå vil jeg bevise at hvis alle tre sider er like, så vet vi at alle tre vinkler vil få samme åpning. Hvordan kan vi gjøre dette? Først kan vi bare se på at vi vet at AB=AC, la oss bare late som at vi ikke også vet at den er lik BC. For likebeinede trekanter vet vi at hvis to sider har samme lengde, så vil basisvinklene ha samme åpning. Vi skriver det ned. Vi vet at vinkel ABC er kongruent med vinkel ACB, fordi--her blir det påstand, og her blir det begrunnelse-- Grunnen her er at de er basisvinkler i en likebeinet trekant. Den er jo likesidet, men i alle fall to sider er like. Så hvis to sider er like, er basisvinklene like. Det kommer bare fra det vi gjorde i forrige video, med likebeinede trekanter. Vi kan også se på trekanten en annen måte. Kanskje er C toppen, og A og B er basisvinklene. For da er BC og BA kongruente, og da er disse to vinklene basisvinklene. Så vinkel CAB blir kongruent med vinkel ABC, av samme grunn. Vi ser på andre bein nå, og andre basisvinkler. AB blir nå basen, du kan se for deg å snu trekanten på siden. Men det er nøyaktig samme logikk. Så la oss gå over det jeg snakket om. AB og BC er like, så disse to basisvinklene er like. AC og BC er også like, så disse to basisvinklene er like. Vel, hvis vinkel ABC er kongruent med vinkel ACB <i>og</i> vinkel CAB, da er alle disse vinklene kongruente med hverandre. Vi får vinkel ABC kongruent med vinkel ACB kongruent med vinkel CAB. Det er alle. Så en likesidet trekant er faktisk en like<i>vinklet</i> trekant; alle vinkler er like. Og du vet hva åpningen er. Du har tre like ting, la oss kalle dem x, og de summerer til 180. Du får x pluss x pluss x pluss x er lik 180, eller 3 x er lik 180. Divider med 3 på begge sider, og du får at x er lik 60 grader. Så i en likesidet trekant er alle vinklene like og de er alle nøyaktig 60-graders vinkler. Nå kan vi se det på en annen måte. Jeg har en trekant hvor alle vinklene er like. Punkt x, y og z. Alle vinklene er like: denne er kongruent med denne og kongruent med denne. Det vi viste i forrige video om likebeinede trekanter var at hvis to basisvinkler er like, så er de korresponderende sidene også like. Vi vet for eksempel at YX er kongruent med YZ. Det vet vi fordi basisvinklene XYZ og YXZ er kongruente. Vi vet også at YZ = XZ, jeg markerer dem på ny. YZ kongruent med XZ. Av samme grunn, men her har vi andre basisvinkler. Igjen kan du se på dette som en likebeinet trekant snudd på siden. Z er toppen, og disse to er basisvinklene. XY er basen nå. Og vi vet det fordi disse to basisvinklene er kongruente. Samme logikk. I første tilfelle var basisvinklene disse to, i andre tilfelle var basisvinklene disse to. Jeg skriver det ned. Basisvinklene i første tilfelle er vinkel YXZ og vinkel YZX. Fra beviset vi så i forrige video, impli- serer det at disse sidene er kongruente. Her har vi basisvinklene XYZ og YXZ, som impliserer at disse to er kongruente. Da har vi bevist det. Vi sa at siden YX er kongruent med YZ, og vi viste at YZ er kongruent med XZ, så alle sidene er kongruente med hverandre. Igjen, hvis alle vinklene er like, er de nødt til å være 60 grader. Da vet du at alle sidene blir like i tillegg; de blir kongruente.