30-60-90 trekant eksempeloppgave

Vi har dette rektangelet. Lengden på AB er lik 1, så det har vi skrevet på der, AB er lik 1. Og vi får vite at BE og BD deler vinkel ABC i tre. Så BE og BD deler vinkel ABC i tre. Den deles i tre like store vinkler. Det betyr at denne vinkelen er lik denne vinkelen, og den. Og vi skal finne ut hva omkretsen på trekant BED er. Så det er den midterste trekanten i rektangelet her. Det kan virke som en vanskelig oppgave, for du vet ikke hva bredden på rektangelet er. Hvordan kan jeg komme i gang her, vi vet jo bare en side. De har faktisk gitt oss mye informasjon, siden vi vet at dette er et rektangel. Vi har fire sider og fire vinkler, sidene er alle parallelle, og vinklene er alle 90 grader, og det er mer enn nok informasjon til å vite at dette er et rektangel. Så vi vet at motsatte sider i et rektangel har samme lengde, så hvis denne siden er 1, så er dette 1. Vi vet også at denne vinkelen er delt i tre like store deler. Vi vet hva åpningen på denne vinkelen er, det var en rett vinkel, 90 grader. Så dette delt i tre like store deler forteller oss at denne vinkelen er 30 grader, denne vinkelen er 30 grader, og denne vinkelen er 30 grader. Og nå ser vi at vi har noen 30-60-90-trekanter. Denne er 30, denne 90, så da må denne siste være 60 grader. Så den vinkelen der må være 60 grader. Den vinkelen her, du har 30, du har 90, så denne må være 60 grader, de må bli 180 til sammen. 30-60-90-trekant, 30-60-90-trekant, du kan også finne vinklene på denne trekanten, selv om det ikke blir en rettvinklet trekant. Men med det vi vet om 30-60-90-trekanter, hvis vi bare vet én side i dem, kan vi faktisk finne ut de andre sidene. Så for eksempel, her har vi den korteste siden, vi har siden overfor 30-gradersvinkelen. Hvis siden overfor 30-gradersvinkelen er 1 så er siden overfor 60-gradersvinkelen kvadratroten av 3 ganger det. Så denne lengden blir kvadratroten av 3. Og det er nyttig, for nå fant vi lengden på hele grunnlinja i rektangelet. Vi brukte bare vår kunnskap om 30-60-90-trekanter. Hvis det var litt mystisk hvordan jeg fant ut det, bør du se den videoen. Vi vet at 30-60-90-trekanter har sider i forhold 1 til kvadratroten av 3 til 2. Så hvis dette er 1, siden overfor 30-gradersvinkelen, så blir dette kvadratroten av 3 ganger det, og hypotenusen blir to ganger det. Så denne lengden blir 2 ganger denne siden her, så 2 ganger 1 er bare 2. Så det er interessant. Kan vi gjøre noe lignende med denne siden her? Her er 1 ikke siden overfor 30-gradersvinkelen, her er 1-tallet overfor 60-gradersvinkelen. Dette er 1-tallet overfor 60-gradersvinkelen. Så igjen, hvis vi ganger denne siden med kvadratroten av 3, burde vi få denne siden her. Dette er siden overfor 60-gradersvinkelen, så dette må bli 1 over kvadratroten av 3 av denne siden. La meg skrive det ned, 1 delt på kvadratroten av 3. Og måten jeg fant ut det på er at uansett hva denne siden er, hvis jeg ganger den med kvadratroten av 3, skal jeg få denne siden her, altså siden overfor 60-gradersvinkelen. Eller hvis jeg tar siden overfor 60-gradersvinkelen og deler den på kvadratroten av 3, bør jeg få den korteste siden, siden overfor 30-gradersvinkelen. Så hvis jeg starter med siden overfor 60-gradersvinkelen, og deler på kvadratroten av 3, får jeg dette. Og hypotenusen blir alltid to ganger lengden på siden overfor 30-gradersvinkelen. Så dette er siden overfor 30-gradersvinkelen, hypotenusen er alltid to ganger den. Dette er siden overfor 30-gradersvinkelen, hypotenusen blir to ganger det. Den blir 2 delt på kvadratroten av 3. Så nå gjør vi det bra, vi må finne omkretsen på den indre trekanten her. Vi har allerede funnet ut at en lengde er 2, vi fant ut at en annen lengde er 2 over kvadratroten av 3, så alt vi må gjøre nå er å finne ut hva ED er. Og det klarer vi fordi vi vet at AD blir det samme som BC, siden vi jobber med et rektangel. Vi vet at hele denne lengden er kvadratroten av 3 Hele denne lengden, hvis hele lengden er kvadratroten av 3, og denne delen, AE, er 1 delt på kvadratroten av 3, så blir denne delen, ED, kvadratroten av 3 minus 1 delt på kvadratroten av 3. Den lengden minus den lengden. Så nå er det lett å finne omkretsen. Vi må bare summere disse og forenkle det. Så det blir 2... la meg skrive dette. Omkrets på trekant BED er lik, dette er en forkortelse for omkrets, jeg ville ikke skrive hele ordet. ...Er lik 2 delt på kvadratroten av 3 pluss kvadratroten av 3 minus 1 delt på kvadratoten av 3, pluss to. Og nå er det bare å forkorte. Du kan ta frem kalkulatoren og få et desimaltall. La oss se, vi har 2 over roten av 3 minus 1 over roten av 3, da har vi 1 igjen, 1 over roten av 3. 2 roten av 1/3 kan jeg også si. 2 over roten av 3 minus 1 over roten av 3 er 1 over roten av 3, og så har vi pluss roten av 3, pluss 2. Hvis jeg ganger teller og nevner med kvadratroten av 3, $$får jeg kvadratroten av 3 over 3, pluss roten av 3, $$og det kan jeg skrive om til 3 roten av 3 over 3, $$ikke sant, jeg bare ganget dette med 3 over 3. $$Pluss 2, så da får vi, og nå kommer trommehvirvel. $$1 roten av 3 pluss 3 roten av 3, $$og alt det over 3, gir oss 4 roten av 3 over 3, pluss 2. $$Eller du kan sette 2-tallet først, $$noen liker å skrive den rasjonelle delen før den irrasjonelle delen, $$men vi er ferdige, vi fant ut omkretsen på den indre trekanten BED.