Arealet av en regulær sekskant

Vi får vite at ABCDEF er en regulær sekskant. Og dette betyr: sekskant betyr selvsagt at vi har å gjøre med seks sider. Og det kan du jo bare telle, du trenger ikke bli fortalt at det er en sekskant. Men regulær betyr at alle seks sider har samme lengde, og alle de innvendige vinklene har samme åpning. Greit nok. Og så får vi vite lengden på en av sidene, og siden det er en regulær sekskant, får vi egentlig lengden på alle sidene. Den er 2 kvadratroten av 3. Så denne siden er 2 kvadratroten av 3, denne siden er 2 kvadratroten av 3, og jeg kan bare gå rundt sekskanten, alle sidene er 2 kvadratroten av 3. Vi skal finne arealet av sekskanten. Finn arealet til ABCDEF. Og den beste måten å finne arealet på regulære mangekanter på er å prøve å dele dem inn i trekanter. Sekskanter er et spesialtilfelle, i fremtidige videoer ser vi kanskje på det mer generelle tilfellet med en hvilken som helst mangekant. I sekskanten kan vi se på det slik. Vi kaller dette punktet G, og la oss si det er sentrum i sekskanten. Når jeg sier sentrum i en sekskant, mener jeg et punkt... det kan ikke være like langt fra alt, for det er ikke en sirkel, men det er like langt fra alle hjørnene. Så GD er lik GC er lik GB er lik GA er lik GF er lik GE. La meg tegne noen av de jeg nevnte nå. Der er GE, der er GD, der er GC, alle disse lengdene blir like. Så det er et punkt G som vi kan kalle sentrum i denne sekskanten. Og vi vet at denne lengden er lik denne lengden, som er lik disse lengdene. Vi vet også at hvis vi går hele veien rundt sirkelen slik, har vi gått 360 grader. Og vi vet at disse trekantene er kongruente med hverandre. Det er flere måter vi kan vise det på, men det letteste er: se, de har to sider felles. Disse sidene blir kongruente med hverandre siden G er i sentrum, og alle har en tredje side felles, som er 2 kvadraroten av 3. Så ved side-side-side er alle kongruente. Det forteller oss at hvis alle er kongruente, så er denne innvendige vinkelen her lik for alle disse seks trekantene. Vi kaller den x. Det er vinkel x, det er x, det er x... Hvis du summerer dem så har vi gått rundt sirkelen, 360 grader. Og vi har seks av disse x-ene. Så vi får 6 x er lik 360 grader. Del begge sider på 6, og du får x er lik 60 grader. Alle disse er lik 60 grader. Nå er det noe interessant. Vi vet at disse trekantene, for eksempel trekant GBC, og dette kan vi gjøre for alle disse trekantene, det ser litt ut som en Trivial Pursuit-brikke. Vi vet at de er likebeinede trekanter. Denne avstanden er lik denne avstanden, så vi kan bruke den informasjonen til å finne ut hva de andre vinklene er, siden disse to basisvinklene... det er en likebeinet trekant, to av sidene er like, så de to basisvinklene er også like. Denne vinkelen blir kongruent med den vinkelen, så vi kan kalle det y. Så du har y pluss y, som er 2 y, pluss 60 grader, blir lik 180, fordi de innvendige vinklene i en trekant blir 180 til sammen. Så trekk fra 60 på begge sider, og du får 2 y er lik 120. Del begge sider på 2, du får y er lik 60 grader. Dette er interessant. Jeg kunne gjort dette med alle disse trekantene. Alle disse trekantene er 60-60-60-trekanter, hvilket sier oss, og vi viste dette da vi først begynte med likesidede trekanter, vi vet at hvis alle vinklene i en trekant er 60 grader, så har vi en likesidet trekant, hvilket betyr at alle sidene er like lange. Så hvis, dette er 2 kvadratroten av 3, så er dette også 2 kvadratroten av 3, og dette. Så alle disse grønne linjene er 2 kvadratroten av 3, og vi visste allerede, siden det er en regulær sekskant, at hver side i sekskanten selv er også 2 kvadratroten av 3. Så nå kan vi bruke den informasjonen til å finne ut, jeg skal vise dere snart, til å finne arealet til hvilken som helst av disse trekantene, og så bare gange det med 6. Så la meg se på denne trekanten her, hvordan kan vi finne dens areal. Vi vet at DC er 2 kvadratroten av 3. Vi kan trekke en høyde ned her, slik, og når vi trekker en høyde, og vi vet at dette er en likesidet trekant, og vi kan vise veldig lett at disse trekantene er symmetriske. Begge disse er 90-graders vinkler, vi vet allerede at disse to er 60-graders vinkler, og hvis du ser på disse to trekantene uavhengig må du si at det skal bli 180 til sammen, så dette må være 30 grader og dette må være 30 grader. Alle vinklene er like, de har også en felles side, så de er kongruente trekanter. Så hvis vi vil finne arealet til denne bredere trekanten, dette kakestykket, så kan vi finne arealet til dette mindre stykket, og gange det med 2. Eller vi kan bare finne dette arealet, og gange det med 12 for hele sekskanten. Så hvordan finner vi arealet på denne? Vel, dette blir halvparten av grunnlinjelengden, så denne lengden - la meg kalle dette punktet H - DH blir kvadratroten av 3. Og forhåpentligvis så vi allerede at dette er en 30-60-90-trekant. La meg tegne den her, dette er en 30-60-90-trekant. Vi vet at denne lengden er kvadratoren av 3, vi har allerede regnet ut at dette er 2 kvadratroten av 3, men vi trenger det egentlig ikke. Det vi egentlig trenger er denne høyden. Og fra 30-60-90-trekanter vet vi at siden overfor 60-gradersvinkelen er kvadratroten av 3 ganger siden overfor 30-gradersvinkelen. Så dette blir kvadratoren av 3 ganger kvadratroten av 3. Kvadratroten av 3 ganger kvadratroten av 3, er selvsagt bare 3. Så denne høyden blir bare 3. Så hvis vi vil ha høyden på denne trekanten her, som er denne trekanten her, er det bare en halv ganger grunnlinje ganger høyde. Så arealet på dette lille kakestykket er bare en halv ganger grunnlinjen her... La oss ta et skritt tilbake, vi trenger ikke bry oss med dette. La oss gå rett til den større trekanten GDC. La oss spole litt tilbake, for nå har vi grunnlinjen og høyden på hele greia. $$Hvis vi vil ha arealet på trekant GDC, $$nå ser jeg på hele denne trekanten her, $$dette er lik en halv ganger grunnlinje ganger høyde, $$som er lik en halv... hva er grunnlinja? $$Vi vet allerede grunnlinja, det er en av sidene i sekskanten vår, $$det er 2 kvadratroten av 3. $$Så det er hele greia her, så ganger 2 kvadratroten av 3. $$Og så vil vi gange det med høyden. $$Og det var den vi fant ut ved å bruke 30-60-90-trekanter. Høyden er 3. $$Så ganger 3. En halv og to strykes ut. $$Vi står igjen med 3 kvadratroten av 3. Det er bare arealet av ett av disse kakestykkene. Hvis vi vil finne arealer til hele sekskanten må vi gange det med seks, for det er seks av de trekantene her. Så dette blir lik 6 ganger 3 kvadratroten av 3. Som er 18 kvadratrøtter av 3. Og vi er ferdige.