Trekantvinkler utfordrende oppgave

Det her ser ut som en interessant øvelse. Vi her det her polygonet. Det her ser ut som et pentagon, da den har 5 sider. Det er en uregelmessig pentagon. Ikke alle sidene ser ut som om, at de her den samme lengden. Det her er pentagonens ytre vinkler. Hva blir vi spurt om er, hva er summen av alle de her ytre vinklene. Det er ikke bare bare, for vi har ikke noen informasjon. Vi får ikke engang none vinkler opplyst. De gir oss ingenting, og de gir oss heller ikke et sted å starte med. Hva kan vi gjøre? La oss ta det trinn for trinn basert på, hva vi vet. Vi har de her ytre vinklene og de her ytre vinklene. De er hver en del av de ytre vinklene, så kanskje kan vi uttrykke de som en funksjon av de ytre vinklene. Vi kan kanskje skrive det her på en litt lettere måte. La oss skrive de ytre vinklene her borte. La oss si, at vi har det her. Vi har allerede E. La oss kalle den her vinkelen F, og la oss kalle den her G. La oss kalle den her H, den her F og den her J. Det er noen av de ytre vinklene. A er nå det samme som 180 minus G, fordi A og G er supplementære med hverandre. Så har vi pluss B, men vi kan ikke uttrykke den her innvendige vinkelen, som blir 180 minus H, fordi de her 2 vinklene igjen er supplementære med hverandre. La oss skrive det i en annen farge. Det blir 180 minus H, og vi kan gjøre det samme for hver av de. C kan skrives som 180 minus I, og vi kan skrive D som 180 minus J. Pluss 180 minus J. Ti slutt har vi E. E kan vi skrive som 180 minus F. Hvis vi legger alle 180'ene sammen, har vi 180 ganger 5. Det her blir lik 5 ganger 180, som er cirka 900. Igjen har vi minus G, minus H, minus I, minus J og minus F, minus . G pluss H, pluss I, pluss I, pluss J, pluss J, pluss F, pluss F. . Nå har vi uttrykt det. Vi har uttrykt det i forhold til summen av de innvendige vinklene. Det blir 900 minus alt det her. Alt det her er 900, som er summen av de innvendige vinklene. Det er altså summen av de innvendige vinklene. Nå ser det ut som om, vi er kommet litt videre. I det minste kjenner vi summen av de innvendige vinklene, og til den delen kan vi se på et lite triks. Vi skal dele den innvendige delen av polygonet inn 3 trekanter, som ikke overlapper hverandre. Vi kan gjøre det fra alle sider. La oss si, at de alle kommer fra den siden her borte. . En trekant her og enda en trekant rett her. Sånn. Vi har oppdelt den i 3 ikke-overlappende trekanter. Grunnen til vi gjorde det er, at vi kjenner summen av trekantenes vinkler. På den måten har vi en god måte til å uttrykke vinklene i forhold til summen eller i forhold til vinklene. Det vet vi ut fra det faktum, at summen av vinklene i en trekant gir 180 grader. G er på en måte allerede en av vinklene i trekanten. F består av 2 vinkler i trekanten. Husk, at F er hele denne vinkelen. La oss derfor dele opp F i 2 vinkler eller 2 andre vinkelgrader. . . Vi har ikke brukt K enda. La oss si, at F er lik K pluss L. Det er lik summen av grader i de 2 vinklene her borte. F er lik K pluss L, så på den her måten deler vi det opp i de her andre trekantenes vinkler. Det samme kan vi gjøre med J, fordi J er hele den her linjen. Hva kan vi si, at K er lik med? Vi kan si, at J er lik M pluss N. Endelig kan vi dele opp H. H er her oppe. La oss si, at H er det samme som O pluss P pluss Q. Det her er O, det her er P, og det her er Q. Igjen vil vi oppdele de her innvendige vinklene, hvis de ikke allerede er en del eller vinkel av en trekant. Vi vil oppdele de i vinkler, som er en del av de her trekantene. Vi har, at H er lik O plussP pluss Q. Grunnen til, at det er interessant er, at vi nå kan skrive summen av de her innvendige vinklene som summen av en masse vinkler, som er en del av de her trekantene. Vi kan bruke det faktum, at enhver trekant har en vinkelsum på 180 grader. Uttrykket her borte blir G. G er vinkelen her borte, hvor vi ikke erstattet noe. Det her blir G. Hvis vi skriver det hele, blir det 900 minus G. Vi erstattet faktisk ikke noe, så vi kan skrive G. I stedet for å skrive H kan vi skrive, at H er O pluss P pluss Q pluss O pluss P pluss Q pluss I. Pluss I er rett over her. Pluss J. Vi bruker den lilla fargen til I. J er uttrykket rett her. J er lik M pluss N. . Endelig har vi våres F. Vi vet, at F er lik K pluss L. Vi skrev den delen her borte som angår de her vinklene. Nu skjer det noe veldig interessant, fordi vi nå vet, hva de her summene vil bli. Vi vet jo, at G pluss K pluss O er 180 grader. De er vinkelens grader i den første trekanten her borte. . G pluss O pluss K er lik 180 grader. . . I den her trekanten vet vi, at G pluss O pluss K er lik 180 grader. Hvis vi streker de ut, kan vi skrive 180 i stedet. . Vi har snart ikke flere farger igjen å skrive med. . . Vi vet, at P pluss L pluss M er lik 180 grader. P pluss L pluss M er 180 grader . Vi vet, at summen blir 180 grader. Nå er vi der nesten. . Til slutt vet vi, at Q pluss N pluss I er 180 grader i den her siste trekanten. Q pluss N pluss I. Q pluss N pluss I er 180 grader. De her 3 blir også 180 grader, og dermed kjenner vi summen av de innvendige vinklene i den her uregelmessige pentagon. Hva som gjelder for et hvert pentagon er, at 180 pluss 180 pluss 180 er 540 grader. Hele pentagonet er lik 540 grader, og hvis vi vil finne summen for de ekstra vinklene, trekker vi det fra de 900. 900 minus 540 er lik 360 grader. Det var det. Det her er lik 360 grader. . .