Bevis: Motsatte vinkler i et parallellogram

Vi skal bevise, at motstående vinkler i et parallellogram er kongruente. Vi skal bevise, at CAB er kongruent med BDC. Den her vinkelen er lik med den her vinkelen, og ABD er kongruent med DCA, som er her borte. For å bevise det skal vi se på de parallelle linjene og transversalene, som faktisk bytter roller. La oss tegne det litt ut, så vi kan se transversalene og de parallelle linjer. Man kan selv prøve å bevise det, for det handler så og si kun om innvendige vinkler og tilsvarende vinkler. . . La oss starte her med vinkel BDC. . Vinkel BCD er en motsatt innvendig vinkel sammen med denne vinkelen her. . Vi kan kalle dette punktet for E. Vinkel CBD er kongruent med vinkel EBD på grunn av regelen om motsatte innvendige vinkler. Det her er en transversal, og de 2 linjene er parallelle. AB eller AE er parallell med CD. . Hvis vi nå i stedet ser BD og AC som de parallelle linjene og nå ser AB som transversalen, kan vi se, at vinkel EBD nå er kongruent med vinkel BAC, fordi de er tilsvarende vinkler. Vinkel EBD er altså kongruent med vinkel BAC. Vi kan også si CAB, da de er tilsvarende vinkler. Hvis den her vinkelen er kongruent med den her vinkelen, og den her vinkelen er kongruent med den her, er de kongruente med hverandre. Vinkel CDB eller BDC er kongruent med vinkel CAB. Nå har vi bevist første del. Vi skal nå bruke samme logikk for å bevise, at de her 2 er kongruente. Vi skal se på den her som en transversal. Vi ser AC som er en transversal til AB og CD. Vi laget et nytt punkt her. Det kaller vi punkt F. Vi vet, at ACD er kongruent med FAC, fordi de er motsatte innvendige vinkler. Nå endrer vi det, så vi ser AC og BD som parallelle linjer og AB som transversalen. Vinkel FAC er nå kongruent med vinkel ABD, fordi det er tilsvarende vinkler. FAC er kongruent med ABD, og de tilsvarende vinkler. Først så vi AV som transversal til AB og CD, som er parallelle. Nå er AB transversalen, mens BD og AC er de parallelle linjene. Hvis den her er kongruent med den her, og den her er kongruent med den her, så er de her 2 kongruente med hverandre. Derfor er det motstående vinkler kongruente med hverandre i et parallellogram.