Bevis: Diagonalene i en drage er vinkelrette

I denne videoen vil jeg bevise at linjestykke AC står normal på linjestykke DB basert på informasjonen i denne figuren, at DC har samme lengde som BC og DA har samme lengde som BA. Jeg gir deg et hint. Vi bruker ett eller flere av kongruenspostulatene våre, jeg kaller dem postulater fra nå av. Så de vi kjenner, de vi har i verktøykassa vår: Vi har side-side-side-postulatet, at hvis de tre sidene er kongruente så er de to trekantene kongruente. Vi har side-vinkel-side: To sider og vinkelen mellom dem er kongruente, da er de to trekantene kongruente. Vi har VSV, to vinkler med siden imellom, og vi har VVS, to vinkler og så en side. Så disse har vi slått fast er postulater, vi antar at de medfører kongruens. Og jeg gjør dette som et tokolonnesbevis. Det må ikke være et tokolonnesbevis, men det er det som vanligvis gjøres i innledende geometri, så jeg viser deg det. Men det er et enkelt konsept. Du gjør en påstand, og du må begrunne påstanden din. Det har vi gjort med alle beviser, men vi har ikke alltid strukturert det. Så jeg gjør det slik: Jeg har to kolonner, en "påstand", og en "begrunnelse". Strategien jeg skal prøve er at det ser ut til at jeg kan bevise at trekant CDA er kongruent med trekant CBA basert på side-side-side. Det er en god start, for når jeg har kongruens, så vet jeg at vinkler er like. Og det kan jeg gjøre fordi CD er lik CB, AD er lik AB, og de deler begge AC. Men jeg vil ikke bare gjøre det muntlig, jeg vil fint gjennomføre tokolonnebeviset. Så lengden på linjestykke CD er lik lengden på linjestykke CB, og det er gitt. Så disse to er like lange. Vi vet også at lengden på linjestykke DA er lik lengden på linjestykke BA. DA = BA. Det er også gitt i figuren. Og så vet vi at CA er lik CA, kan man vel si. CA er lik seg selv, og er selvsagt i begge trekantene. Så dette er også gitt, eller opplagt fra figuren. Begge trekantene deler den siden. Så to trekanter med tilsvarende sider av samme lengde vet vi er kongruente. Så vi vet at trekant CDA er kongruent med trekant CBA, og vi vet det av side-side-side-postulatet og påstandene våre her oppe. La meg nummerere påstandene våre så vi kan referere til dem. 1, 2, 3 og 4. Side-side-side-postulatet og påstand 1, 2 og 3. Så påstand 1, 2 og 3 og SSS-postulatet sier oss at trekantene er kongruente. Og hvis de er kongruente vet vi at alle deres tilsvarende vinkler er ekvivalente. For eksempel blir denne vinkelen lik denne vinkelen. Jeg skriver den påstanden her. Vi vet at vinkel DCE (dette blir påstand 5), det er denne vinkelen her, får samme åpning -- vi kan til og med si kongruent. Jeg sier at åpningen på vinkel DCE blir lik åpningen på vinkel BCE. Og dette kommer rett fra påstand 4, kongruens. Jeg kan sette det i parentes. For de er begge del av denne større trekanten, de er tilsvarende vinkler, så de får nøyaktig samme åpning. Nå kan vi gjøre noe interessant med de to mindre trekantene, øverst på denne dragelignende figuren. For to samsvarende sider og vinkler er kongruente, og de har en felles side. De har den siden her felles. La oss først bare slå fast at de har den siden felles. Jeg skriver påstand 6. Lengden på CE er lik seg selv. Igjen, dette er opplagt. Opplagt fra figur, det er den samme linja. Men nå kan vi bruke den informasjonen. Så vi har ikke tre sider, vi har ikke bevist at DE er like lang som EB, men vi har en side, en vinkel mellom sidene, og en side til. Så dette ser ganske interessant ut for side-vinkel-side-postulatet vårt. Så ved SVS-postulatet kan vi si at trekant DCE er kongruent med trekant BCE. Når jeg markerer trekantene, passer jeg på at jeg skriver de tilsvarende punktene. Så jeg begynte med D, gikk så til C, så E. Så det tilsvarende punktet, eller hjørnet, for denne trekanten er B. Så hvis jeg starter med D, starter jeg med B. C i midten er det tilsvarende hjørnet for begge disse trekantene, så går de til E. Og det er bare for å passe på at vi spesifiserer hva som svarer til hva. Og vi vet at dette er sant ved side- vinkel-side og informasjonen vi fikk fra-- at disse to sidene var kongruente fikk vi fra påstand 1, at vinklene er kongruente er fra påstand 5, og påstand 6 ga oss den andre siden. Påstand 6, slik. Og hvis vi vet at disse to trekantene er kongruente, betyr det at alle deres tilsvarende siderer kongruente. Så vi vet for eksempel at denne vinkelen er kongruent med den vinkelen der. La oss skrive det. Påstand 8: Åpningen på vinkel DEC er lik åpningen på vinkel BEC. Og det kommer rett fra påstand 7. Igjen, de er kongruente. Kongruens. Og vi vet også -- vi gjør påstand 9 -- at åpningen på vinkel DEC... Eller, vinkel DEC og vinkel BCE er supplementvinkler, hvilket betyr at åpningene deres er til sammen 180 grader. Og vi vet det fordi de er nabovinkler og deres ytre sider danner en rett linje. Og da er det neste steget at hvis vi vet at disse to vinklene er like, og at de er supplementvinkler, da kan vi dedusere at de faktisk må være 90 grader. $$Så 10: Åpningen på vinkel DEC er lik åpningen på vinkel BEC, som er 90 grader. $$Så kan vi sette sammen disse to påstandene, $$så det blir påstand 8 og 9 medfører at DEC... så jeg kan skrive $$åpningen på vinkel DEC pluss åpningen på vinkel -- eller, la meg bare -- $$Jeg vil ikke ta for mange steg på en gang, la meg ta det litt og litt. $$Jeg gjør det slik. Åpningen på vinkel DEC pluss åpningen på vinkel BEC er lik 180, $$og det kommer fra punkt 9 som sier at de er supplementvinkler. $$Og påstand... jeg bruker mye plass nå... påstand 11, vi kan si $$"Åpning på vinkel DEC pluss åpning på vinkel DEC er lik 180 grader." $$Og vi vet det fra påstand 9 <i>og</i> påstand 8. Vi tok bare påstand 9 $$og byttet ut at åpningen på BEC er den samme som åpningen på DEC. $$Så påstand 12: "Åpningen på vinkel DEC er lik 90, som er lik åpningen på BEC." $$Og så igjen, dette følger rett fra punkt 11 og 8. Som du ser bruker jeg mer tid, jeg går grundigere gjennom stegene, i andre bevis ville jeg sagt at selvsagt betyr dette det og det. Men vi er ferdige! For hvis disse er 90 grader -- jeg skriver den siste påstanden, påstand 13, som er hva vi ville bevise. Vi ville bevise at AC er normal på DB. AC er normal på linjestykke DB, og det kommer rett fra punkt 12. Vi er ferdige! Vi har gjort et tokolonnesbevis, og vi har bevist at dette linjestykket står normalt på dette linjestykket. Vi brukte SSS-postulatet og SVS-postulatet.