Et annet bevis for Pytagoras’ setning

Vi gjør en del forskjellige beviser for Pythagoras læresetning for øyeblikket. La oss gjøre en et til. Som med alle andre beviser starter vi med å tegne en rettvinklet trekant. Vi tegner den, så hypotenusen er i bunnen. Vi tegner den stor, så vi har plass å arbeide på. Det her er hypotenusen c. Den her siden er den lengste siden, som ikke er hypotenusen. Vi kaller den a. Til slutt tegner vi den her siden. Det skal være en rettvinklet trekant. Den siden heter b. Nå er det helt sikkert en rettvinklet trekant. Her er den rette vinkelen. Vi begynner med å dreie hele trekanten 90 grader mot klokka, altså mot venstre. Vi roterer trekanten sånn her og tegner den igjen. I så fall er hypotenusen helt loddrett her. Den gule siden a ser nå cirka ut som dette. Den er faktisk parallell med den blå siden b. Den vinkelen her er 90 grader. Mellom de tilsvarende sidene i de 2 trekantene er det alltid en vinkel på 90 grader, når vi har rotert den 90 grader. Den her siden er b. Her er den rette vinkelen. Inntil videre har vi kun rotert trekanten 90 grader mot klokka. Vi har ikke endret på den. Nå tegner vi et parallellogram. La oss like godt navngi alle sidene, så vi har oversikt. Det her er hypotenusen c. Fra det her punktet går vi c opp. Vi går lengden c opp. Det her er altså også c. Hva er den her lengden? Vi vet, at det er et parallellogram, vi tegner. Den her linjen er parallell med linjen her nede. De har samme helning. Ettersom de er parallelle og er samme lengde i den vannrette retningen, må de våre like lange. Den er også a. Hva er arealet av det parallellogrammet, vi akkurat har tegnet? Får å finne ut av det kan vi tegne parallellogrammet igjen, så det nesten liggere nede. Her er de 2 lengdene a, og her er de 2 lengdene c. Vi kan se, at det her er parallellogrammets høyde. Den står nemlig vinkelrett på grunnlinjen a. Det her er altså parallellogrammets høyde, som også er a. Hva er arealet av et parallellogram? Det er grunnlinjen ganger høyden. Arealet av parallellogrammet er altså a i andre. Vi gjør nå det samme, som vi startet med, men den her gangen roterer vi trekanten til høyre i stedet for. Vi roterer den 90 grader med klokka. Det her er hypotenusen c. Den ender her. Siden b ender her. Det er en rett vinkel mellom de tilsvarende sidene. Siden a ender her. Det her er a, og det her er b. Her er den rette vinkelen. La oss nå igjen tegne et parallellogram. Her er det 2 høydene c. Vi kan akkurat som før si, at hvis den nederste siden er b, er den øverste siden også b. Det er nemlig parallelle linjer, som har den samme lengden i den vannrette retningen. Derfor må de være lik med hverandre. Hva er arealet av det her parallellogrammet? Akkurat som før kan vi prøve å tegne det, så det står på jorden. Her er sidene b. Her er sidene c. Hva er høyden? Høyden er b. Det vet vi, fordi det er en rett vinkel mellom de her 2 b'ene. Vi roterte trekanten 90 grader, så det er ikke tilfeldig. Arealet av parallellogrammet er grunnlinjen ganger høyden. Derfor er arealet av det her parallellogrammet b i andre. Nå er vi kommet til den interessante delen. Vi kopierer nå den midterste delen her. Det er den mest interessante delen av tegningen. Det smarte ved å bruke sånn en elektronisk tavler her er, at man kan kopiere det, man har tegnet. Så behøver man ikke tegne eller skrive alt om igjen. Sånn. Det er ganske tydelig, hva arealet av den her tegningen er. La oss like godt slette litt, så vi kun har det, vi skal bruke. Det er visst litt av en kunst å finpusse en sånn tegning. Den her skal egentlig også slettes. Vi slettet siden c. Vi kan faktisk tegne den igjen her. Hva er arealet av hele den her figuren? Det er selvfølgelig a i andre pluss b i andre. Hele figurens areal er a i andre pluss b i andre. Kan vi på en eller annen måte tegne figuren, så vi kan uttrykke det i forhold til c? Vi vet, at den her lengden er lik med c. Det kommer fra vår opprinnelige trekant. Her er c, og den her er også c. Vi kan nå ta trekanten i toppen herm som er helt lik til den opprinnelige trekanten, og flytte den ned. Hele figurens areal inkludert trekanten her er lik med a i andre pluss b i andre. La oss klippe trekanten her og flytte den ned. Vi flytter nå trekanten ned her. Vi endrer ikke på den. Vi har nå flyttet litt rundt på det arealet, som er a i andre pluss b i andre. Hele firkanten er fremdeles a i andre pluss b i andre. Hele den delen her er a i andre. Det var tidligere vårt parallellogram. b i andre er den her delen. Hva er det her lik med uttrykt med c? Vi vet, at firkanten har bredden c ganger lengden c. Arealet uttrykt med c er altså c i andre. a i andre pluss b i andre er altså lik med c i andre. Vi har igjen bevist Pythagoras læresetning.