Bhaskaras bevis av Pytagoras’ setning

Nå skal jeg vise et bevis som vi gir den indiske matematikeren Bhaskara, fra 1100-tallet, æren for. Vi skal begynne med et kvadrat. Jeg skal tegne kvadratet litt på skrå, for jeg tror det vil gjøre det litt lettere for meg. Jeg skal gjøre mitt beste for å tegne noe som ligner noenlunde på et kvadrat. Bær over med meg hvis det ikke er et nøyaktig kvadrat. Det ser greit ut. Og jeg antar at det er en kvadrat, så da er dette en rett vinkel. Dette er en rett vinkel, dette og dette er en rett vinkel. Jeg antar at lengdene på alle sidene er like. Så la oss anta at alle har lengde c, jeg skriver det i gult. Alle sidene til kvadratet har lengde c. Og nå skal jeg konstruere fire trekanter inni dette kvadratet. Jeg trekker en linje rett ned her, og tegne en trekant som ser slik ut. Jeg går loddrett ned her, og her går jeg vannrett. Siden dette er loddrett og dette er vann- rett, vet vi at dette er en rett vinkel. Så fra dette hjørnet i kvadratet vårt går jeg rett opp. Og siden dette er rett opp og dette er vannrett, vet vi at dette er en rett vinkel. Og fra dette hjørnet går jeg rett ut horisontalt. Jeg antar det er det jeg gjør. Da vet vi at dette blir en rett vinkel, og at dette blir en rett vinkel. Så vi ser at vi har konstruert fire rett- vinklede trekanter fra kvadratet vårt, og i mellom har vi noe som ser ut som et rektangel, eller kanskje et kvadrat. Vi har enda ikke bevist at dette er et kvadrat. Det neste jeg vil tenke på er om disse trekantene er kongruente. De har i alle fall samme lengde på hypotenusene. (Jeg vet ikke hva hypotenus blir i flertall-) De har alle lengde c. Kanten ovenfor den rette vinkelen har alltid lengde c. Hvis vi kan vise at alle de motstående vinklene er like, så vet vi at de er kongruente. Hvis du har noe hvor alle vinklene er like, og du har en korresponderende side som også er kongruent, så er hele figuren kongruent. Og det kan vi vise hvis vi antar at denne vinkelen er theta. Da må denne vinkelen være 90 minus theta, fordi de er komplimentære vinkler. Det vet vi fordi de danner en rett vinkel i kvadratet. Og dette er 90 minus theta. Vi vet at disse to vinklene må bli 90 til sammen, fordi vi har bare 90 igjen når vi trekker den rette vinkelen fra 180. Så vi vet at dette må være theta. Og hvis det er theta, så er dette 90 minus theta... Jeg tror du ser hvor vi er på vei. Hvis det er 90 minus theta må dette være theta. Og hvis det er theta, så er dette 90 minus theta. Og hvis dette er 90 minus theta, så er dette theta, og da må dette være 90 minus theta. Så vi ser at i alle disse fire trekantene, er de tre vinklene theta, 90 minus theta, og 90 grader. Så de har alle nøyaktig samme vinkler, så det er i alle fall formlike, og de har samme hypotenus. Så vi vet at alle fire trekantene er kongruente. Med den antagelsen, la oss anta at den lengste kateten i disse trekantene har lengde b. Jeg antar at den lengste siden på disse trekantene, heter liten b. Og la oss anta at den korte kateten, så denne avstanden her, denne avstanden her, denne avstanden her, og denne avstanden her, alle har lengde a. Så denne høyden har lengde a. Nå skal vi gjøre noe interessant. Først tenker vi på arealet til hele kvadratet. Hva er arealet på kvadratet, med tanke på c? Vel, det er enkelt, sidene i firkanten er c og c, så arealet er c i andre. Det jeg skal gjøre nå er å flytte på to av disse trekantene, og så finne ut arealet på kvadratet med tanke på a-er og b-er. Forhåpentligvis vil det lede oss til Pythagoras' læresetning. For å gjøre det, uten å miste startpunktet vårt, siden startpunktet vårt er interessant, så kopierer jeg hele denne greia. Kopier og lim inn. Så dette er den opprinnelige figuren. Og det jeg skal gjøre nå... la meg ta bort det... Nå skal jeg flytte... dette er den morsomme delen. Nå skal jeg flytte denne trekanten oppe til venstre, ned under denne trekanten nede til høyre. Og jeg skal prøve å gjøre det med kopiering og liming. Det er ikke så lett slik jeg tegnet det... jaja, kanskje det går. Så jeg tar bort det, og så limer jeg det inn. Og så setter jeg den der. La meg bare tegne inn linjene jeg tok bort. Vi hadde en linje der, og denne her oppe også. Dette var loddrett, og disse var vannrett. Så jeg flyttet denne delen ned dit. Og nå skal jeg flytte trekanten øverst til høyre helt ned til venstre. Så jeg bare flytter på det samme arealet. Jeg klipper den ut så godt jeg kan. Klipp og lim inn. Og så flytter jeg den ned hit. Jeg mistet grunnlinja litt i prosessen, så jeg tegner den på ny. Så jeg flyttet den ned hit. Denne fargelagte trekanten er nå her. Og denne trekanten er nå her. Kvadratet i midten - det er et kvadrat - er nå her. Så forhåpentligvis er du med på hvordan vi stokket den om. Nå er spørsmålet mitt til deg: Hvordan kan vi uttrykke arealet til denne nye figuren? Som har akkurat samme areal som den gamle figuren. Jeg bare flyttet på deler av den. Kan vi uttrykke dette med kun a-er og b-er? Nøkkelen her er å kjenne igjen lengden til denne siden. Hva er lengden til linja i bunnen? Vel, lengden på denne delen er b, og lengden på denne er a. Så lengden på hele linja i bunnen er a pluss b. Det i seg selv er spennende, men vi kan innse at denne lengden her, som er det samme som denne lengden her, også er a. Så vi kan konstruere et kvadrat med sidelengde a. Dette kvadratet her har sidelengder a, så arealet er a i andre. La meg gjøre det i en farge som faktisk synes. Så arealet er a i andre. Hva er da arealet på det som er til overs? Hvis dette er lengde a, så er dette også lengde a. Og hvis hele bunnen er a pluss b, så vet vi at det som er til overs, etter å ha tatt bort a, må bli b. Hvis alt dette er a pluss b, og dette er a, så må resten være b. Så resten av denne omstokkede figuren, alt jeg fargelegger her, er bare en kvadrat med sidelengde b. Så arealet her er b i andre. Så hele arealet til denne figuren er a i andre, pluss b i andre! Som videre er lik arealet til dette, uttrykt med c, for det er nøyaktig samme figur, bare omstokket. Så det blir lik c i andre. Alt fungerte, og Bhaskara ga oss et veldig kult bevis på Pythagoras' læresetning.