Bevis: summen & produktet av to rasjonale tall er rasjonal

Det jeg vil gjøre i denne videoen er å tenke på om produktet eller summer av rasjonale tall kommer definitivt til å være rasjonelle. Så la oss bare først tenke på produktet av rasjonale tall. Så hvis jeg har et rasjonelt tall-- faktisk, la meg i stedet for å skrive ut ordet rasjonell, la meg bare representere det som et forhold mellom to heltall. Så jeg har et rasjonelt tall her. Jeg kan representere det som a / b. Og jeg kommer til å multiplisere det med et annet rasjonelt tall, og jeg kan representere det som et forhold mellom to hele tall, m og n. hva kommer produktet til å være? Vel, telleren, jeg kommer til å ha am. Jeg kommer til å ha en ganger m. Og i nevneren, kommer jeg til å ha b ganger n. Vel a er et helt tall, m er et helt tall. Så du har et heltall i teller. Og b er et heltall og n er et heltall. Så du har et heltall i nevneren. Så nå er produktet et forhold mellom to heltall rett over her, så produktet er også rasjonelt. Så denne saken er også rasjonelt. Så hvis du gir meg et produkt av to rasjonale tall, kommer du til å ende opp med et rasjonelt tall. La oss se om det samme gjelder for summen av to rasjonale tall. Så la oss si mitt første rasjonelle antall er a / b, eller kan representeres som a / b, og mitt andre rasjonelle tall kan representeres som m / n. Vel, hvordan ville jeg lagt sammen disse to? Vel, jeg kan finne en fellesnevner, og den enkleste er b ganger n. Så la meg multiplisere denne fraksjonen. Vi multipliserer dette en ganger n i telleren og n i nevneren. Og la meg multiplisere denne ene ganger b i telleren og b i nevneren. Nå har vi skrevet dem slik at de har en fellesnevner for bn. Så dette kommer til å være lik an pluss bm, alt det over b ganger n. Så b ganger n, har vi nettopp snakket om. Dette kommer definitivt til å være et heltall rett her. Så hva har vi her oppe? Vel, vi har en ganger n, som er et heltall. b ganger m er et annet heltall. Summen av to heltall kommer til å være et heltall. Så du har et heltall over i et heltall. Du har forholdet mellom to heltall. Slik at summen av to rasjonale tall kommer til å gi deg en annen. Så dette over her var rasjonelle, og dette her er rasjonelle. Så du tar produktet av to rasjonale tall, og du får et rasjonelt tall. Du tar summen av to rasjonale tall, og du får et rasjonelt tall.